Кинематика материальной точки

Содержание
  1. Кинематика материальной точки
  2. Радиус-вектор и траектория точки
  3. Скорость материальной точки
  4. Касательная к траектории
  5. Ускорение материальной точки
  6. Тангенциальное (касательное) и нормальное ускорения
  7. Тангенциальное (касательное) ускорение
  8. Радиус кривизны траектории
  9. Нормальное ускорение
  10. Кинематика – FIZI4KA
  11. Механическое движение и его виды
  12. Относительность механического движения
  13. Правило сложения перемещений
  14. Правило сложения скоростей
  15. Относительная скорость
  16. Скорость
  17. Ускорение
  18. Равномерное движение
  19. График скорости (проекции скорости)
  20. График перемещения (проекции перемещения)
  21. Прямолинейное равноускоренное движение
  22. Свободное падение (ускорение свободного падения)
  23. Движение тела по вертикали
  24. Движение тела, брошенного горизонтально
  25. Движение тела, брошенного под углом к горизонту (баллистическое движение)
  26. Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью
  27. Основные формулы по теме «Кинематика»
  28. 2.1. Кинематика. Механика. Физика. Курс лекций
  29. 2.1.1. Механическое движение. Физические модели реальных тел, используемые в механике. Система отсчета. Траектория. Виды движений
  30. 2.1.2. Кинематические уравнения движения. Длина пути и вектор перемещения
  31. 2.1.3. Кинематические характеристики. Скорость
  32. 2.1.4. Кинематические характеристики. Ускорение
  33. 2.1.5. Поступательное и вращательное движение абсолютно твердого тела
  34. 2.1.6. Связь между кинематическими характеристиками при различных видах движений
  35. Прямолинейное равномерное движение
  36. Прямолинейное равнопеременное движение
  37. Прямолинейное неравномерное движение
  38. 2. Поступательное движение
  39. 3. Вращательное движение
  40. Равномерное вращение по окружности
  41. Равнопеременное вращение по окружности
  42. Неравномерное вращение

Кинематика материальной точки

Кинематика материальной точки

Даны основные формулы кинематики материальной точки, их вывод и изложение теории.

Приведем основные формулы кинематики материальной точки. После чего дадим их вывод и изложение теории.

Радиус-вектор материальной точки M в прямоугольной системе координат Oxyz:
,
где – единичные векторы (орты) в направлении осей x, y, z.

Скорость точки:
;
;
; Единичный вектор в направлении касательной к траектории точки:

.

Вектор можно выбрать двумя способами во взаимно противоположных направлениях. Обычно его выбирают в направлении увеличения дуговой координаты. Тогда, наряду с модулем скорости , вводят алгебраическую величину скорости . При , вектор скорости сонаправлен с . При – имеет противоположное с направление.

Ускорение точки:
;
;
;
;     ;

Тангенциальное (касательное) ускорение:
;
;
.
Здесь, как и для скорости, – это алгебраическое касательное ускорение, . Если , то вектор касательного ускорения сонаправлен с . При – имеет противоположное с направление.

Нормальное ускорение:
;
;
.

Единичный вектор, направленный к центру кривизны траектории точки (вдоль главной нормали):
.

Радиус кривизны траектории:
.

Далее приводится вывод этих формул и изложение теории кинематики материальной точки.

Радиус-вектор и траектория точки

Рассмотрим движение материальной точки M. Выберем неподвижную прямоугольную систему координат Oxyz с центром в некоторой неподвижной точке O. Тогда положение точки M однозначно определяются ее координатами (x, y, z). Эти координаты являются компонентами радиус-вектора материальной точки.

Радиус-вектор точки M – это вектор , проведенный из начала неподвижной системы координат O в точку M.
,
где – единичные векторы в направлении осей x, y, z.

При движении точки, координаты изменяются со временем . То есть они являются функциями от времени . Тогда систему уравнений
(1)  
можно рассматривать как уравнение кривой, заданной параметрическими уравнениями. Такая кривая является траекторией точки.

Траектория материальной точки – это линия, вдоль которой происходит движение точки.

Если движение точки происходит в плоскости, то можно выбрать оси и системы координат так, чтобы они лежали в этой плоскости.

Тогда траектория определяется двумя уравнениями

В некоторых случаях, из этих уравнений можно исключить время .

Тогда уравнение траектории будет иметь зависимость вида:
,
где – некоторая функция. Эта зависимость содержит только переменные и . Она не содержит параметр .

Скорость материальной точки

Скорость материальной точки – это производная ее радиус-вектора по времени.

Согласно определению скорости и определению производной:
Производные по времени, в механике, обозначают точкой над символом. Подставим сюда выражение для радиус-вектора:

,

где мы явно обозначили зависимость координат от времени. Получаем:
, где

,

,
– проекции скорости на оси координат. Они получаются дифференцированием по времени компонент радиус-вектора

.

Таким образом
. Модуль скорости:

.

Касательная к траектории

С математической точки зрения, систему уравнений (1) можно рассматривать как уравнение линии (кривой), заданной параметрическими уравнениями. Время , при таком рассмотрении, играет роль параметра.

Из курса математического анализа известно, что направляющий вектор для касательной к этой кривой имеет компоненты:
.
Но это есть компоненты вектора скорости точки.

То есть скорость материальной точки направлена по касательной к траектории.

Касательная к траектории точки

Все это можно продемонстрировать непосредственно. Пусть в момент времени точка находится в положении с радиус-вектором (см. рисунок). А в момент времени – в положении с радиус-вектором . Через точки и проведем прямую . По определению, касательная – это такая прямая , к которой стремится прямая при . Введем обозначения:

;

;
.
Тогда вектор направлен вдоль прямой .

При стремлении , прямая стремится к касательной , а вектор – к скорости точки в момент времени :
.
Поскольку вектор направлен вдоль прямой , а прямая при , то вектор скорости направлен вдоль касательной .
То есть вектор скорости материальной точки направлен вдоль касательной к траектории.

Введем направляющий вектор касательной единичной длины:
. Покажем, что длина этого вектора равна единице. Действительно, поскольку

, то:

.

Здесь мы направили вектор по направлению к вектору скорости, поскольку это более удобно. Но могут возникнуть случаи, когда точка останавливается и движется по той же траектории в обратном направлении.

Чтобы не вводить для одной и той же точки траектории два единичных касательных вектора, нужно охватить случай, когда направлен противоположно скорости. Для этого вводят алгебраическую величину скорости:
.
Если направления векторов и совпадают, то . Если они противоположны, то .

– это проекция скорости на направление единичного вектора . Она равна скалярному произведению этих векторов:
.

Абсолютную величину (модуль) вектора скорости мы обозначаем символом с прямыми скобками, или символом без стрелки:
; Алгебраическая величина скорости:

.

Тогда вектор скорости точки можно представить в следующем виде:
.

Ускорение материальной точки

Ускорение материальной точки – это производная ее скорости по времени.

Аналогично предыдущему, получаем компоненты ускорения (проекции ускорения на оси координат):
;
;
;
. Модуль ускорения:

.

Тангенциальное (касательное) и нормальное ускорения

Теперь рассмотрим вопрос о направлении вектора ускорения по отношению к траектории. Для этого применим формулу:
. Дифференцируем ее по времени, применяя правило дифференцирования произведения:

.

Вектор направлен по касательной к траектории. В какую сторону направлена его производная по времени ?

Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся тем, что длина вектора постоянна и равна единице. Тогда квадрат его длины тоже равен единице:
. Здесь и далее, два вектора в круглых скобках обозначают их скалярное произведение. Продифференцируем последнее уравнение по времени:

;

;
.
Поскольку скалярное произведение векторов и равно нулю, то эти векторы перпендикулярны друг другу. Так как вектор направлен по касательной к траектории, то вектор перпендикулярен к касательной.

Первую компоненту называют тангенциальным или касательным ускорением:
. Вторую компоненту называют нормальным ускорением:

.

Тогда полное ускорение:

(2)   .

Эта формула представляет собой разложение ускорения на две взаимно перпендикулярные компоненты – касательную к траектории и перпендикулярную к ней.

Поскольку , то
(3)   .

Тангенциальное (касательное) ускорение

Также как и для скорости, введем алгебраическую величину вектора касательного ускорения :
.
Если , то вектор касательного ускорения сонаправлен с . Если , то эти векторы противоположны. Абсолютную величину касательного ускорения будем обозначать прямыми скобками: . Тогда
.

Умножим обе части уравнения (2) скалярно на :
.
Поскольку , то . Тогда
;
.
Здесь мы положили: .
Отсюда видно, что алгебраическая величина тангенциального ускорения равна проекции полного ускорения на направление касательной к траектории. Она также равна производной по времени алгебраической величины скорости точки: .

Подставив , имеем:
.
Здесь мы учли, что .

Найдем производную по времени модуля скорости . Применяем правила дифференцирования:

;
.

Итак,
.
Отсюда следует, что если между векторами ускорения и скорости острый угол: , то движение ускоренное. Абсолютное значение скорости возрастает. Если между ними тупой угол: , то движение замедленное. Абсолютное значение скорости убывает.

Выразим ускорение через тангенциальное и нормальное: , и учтем, что . Получим:
.
Тогда предыдущую формулировку можно выразить посредством тангенциального ускорения. Если векторы касательного ускорения и скорости направлены в одну сторону, то движение ускоренное. Если их направления противоположны, то движение замедленное.

Радиус кривизны траектории

Теперь исследуем вектор .

Радиус кривизны траектории

Рассмотрим вектор в два момента времени – в момент времени t и в момент t1. Введем обозначения: . По определению производной:
.
Пусть в момент времени t, точка находится в положении M, а в момент t1 – в положении M1 (см. рисунок).

Рассмотрим случай, когда алгебраическая скорость положительна: . То есть направления векторов и совпадают. Тогда точка M1 находится справа от M. Через точки и проведем плоскости, перпендикулярные векторам и . Пересечение этих плоскостей образует прямую. Она проходит через точку C перпендикулярно плоскости рисунка. MC – это перпендикуляр, опущенный из точки M на эту прямую.

При , точка стремится к точке , а длина отрезка CM стремится к радиусу кривизны траектории ρ. Поскольку и , то угол между отрезками и равен углу между векторами и . Отложим их для наглядности из одного центра.

Абсолютное значение производной:
.
Здесь мы учли, что .

Вектор , как указывалось выше, перпендикулярен . В данном случае он направлен вдоль единичного вектора главной нормали , направленной к центру кривизны C траектории. Поэтому при имеем:
.

Теперь рассмотрим случай, когда алгебраическое значение скорости отрицательно: . В этом случае, вектор скорости противоположен . Получается тот же рисунок, только точка располагается слева от M. В результате абсолютное значение производной остается прежней:
. Но ее направление меняется на противоположное:

.

Поскольку , то формула сохраняет прежний вид и в этом случае:
.

Нормальное ускорение

Теперь находим нормальное ускорение:
. Перепишем результат в следующем виде:

,

где ;   – единичный вектор в направлении главной нормали траектории – то есть вектор, направленный к мгновенному центру кривизны перпендикулярно касательной к траектории. Поскольку , то также является модулем нормального ускорения. Для него не нужно вводить алгебраическое значение, как мы это делали для скорости и касательного ускорения.
Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории.

Из формулы (2) имеем:
(4)   .
Из формулы (3) находим модуль нормального ускорения:
.

Умножим обе части уравнения (2) скалярно на :
(2)   .
.
Поскольку , то . Тогда
;
.
Отсюда видно, что модуль нормального ускорения равен проекции полного ускорения на направление главной нормали.

Выпишем еще раз следующую формулу:
.
Отсюда видно, что нормальное ускорение вызывает изменение направления скорости точки, и оно связано с радиусом кривизны траектории.

Радиус кривизны траектории:
.

И в заключении заметим, что формулу (4) можно переписать в следующем виде:
. Здесь мы применили формулу для векторного произведения трех векторов:

,

в которую подставили

.

Итак, мы получили:
;
. Приравняем модули левой и правой частей:

.

Но векторы и взаимно перпендикулярны. Поэтому
. Тогда

.

Это известная формула из дифференциальной геометрии для кривизны кривой.

Источник: https://1cov-edu.ru/termeh/kinematika/tochki/

Кинематика – FIZI4KA

Кинематика материальной точки

ЕГЭ 2018 по физике ›

Механика — это раздел физики, изучающий механическое движение тел.

Кинематика — это раздел механики, в котором изучается механическое движение тел без учета причин, вызывающих это движение.

Материальная точка — тело, обладающее массой, размерами которого в данной задаче можно пренебречь, если

  • расстояние, которое проходит тело, много больше его размера;
  • расстояние от данного тела до другого тела много больше его размера;
  • тело движется поступательно.

Система отсчета — это тело отсчета, связанная с ним система координат и прибор для измерения времени.
Траектория — это линия, которую описывает тело при своем движении.
Путь — это скалярная величина, равная длине траектории.
Перемещение — это вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением за данный промежуток времени.

Важно!  В процессе движения путь может только увеличиваться, а перемещение как увеличиваться, так и уменьшаться, например, когда тело поворачивает обратно. При прямолинейном движении в одном направлении путь равен модулю перемещения, а при криволинейном — путь больше перемещения.

Перемещение на замкнутой траектории равно нулю.

Основная задача механики — определить положение тела в пространстве в любой момент времени.

Механическое движение и его виды

Механическое движение — это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

Механическое движение может быть:
1. по характеру движения

  • поступательным — это движение, при котором все точки тела движутся одинаково и любая прямая, мысленно проведенная в теле, остается параллельна сама себе;
  • вращательным — это движение, при котором все точки твердого тела движутся по окружностям, расположенным в параллельных плоскостях;
  • колебательным — это движение, которое повторяется в двух взаимно противоположных направлениях;

2. по виду траектории

  • прямолинейным — это движение, траектория которого прямая линия;
  • криволинейным — это движение, траектория которого кривая линия;

3. по скорости

  • равномерным — движение, при котором скорость тела с течением времени не изменяется;
  • неравномерным — это движение, при котором скорость тела с течением времени изменяется;

4. по ускорению

  • равноускоренным — это движение, при котором скорость тела увеличивается с течением времени на одну и ту же величину;
  • равнозамедленным — это движение, при котором скорость тела уменьшается с течением времени на одну и ту же величину.

Относительность механического движения

Относительность движения — это зависимость характеристик механического движения от выбора системы отсчета.

Правило сложения перемещений

Перемещение тела относительно неподвижной системы отсчета равно векторной сумме перемещения тела относительно подвижной системы отсчета и перемещения подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета:

где ​\( S \)​ — перемещение тела относительно неподвижной системы отсчета;
​\( S_1 \)​ — перемещение тела относительно подвижной системы отсчета;
​\( S_2 \)​ — перемещение подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета.

Правило сложения скоростей

Скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме скорости тела относительно подвижной системы отсчета и скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета:

где ​\( v \)​ — скорость тела относительно неподвижной системы отсчета;
​\( v_1 \)​ — скорость тела относительно подвижной системы отсчета;
​\( v_2 \)​ — скорость подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета.

Относительная скорость

Важно! Чтобы определить скорость одного тела относительно другого, надо мысленно остановить то тело, которое мы принимаем за тело отсчета, а к скорости оставшегося тела прибавить скорость остановленного, изменив направление его скорости на противоположное.

Пусть \( v_1 \) — скорость первого тела, а \( v_2 \) — скорость второго тела.
Определим скорость первого тела относительно второго \( v_{12} \):

Определим скорость второго тела относительно первого \( v_{21} \):

Следует помнить, что траектория движения тела и пройденный путь тоже относительны.

Если скорости направлены перпендикулярно друг к другу, то относительная скорость рассчитывается по теореме Пифагора:

Если скорости направлены под углом ​\( \alpha \)​ друг к другу, то относительная скорость рассчитывается по теореме косинусов:

Скорость

Скорость — это векторная величина, характеризующая изменение перемещения данного тела относительно тела отсчета с течением времени.

Обозначение — ​\( v \)​, единицы измерения — ​м/с (км/ч)​.

Средняя скорость — это векторная величина, равная отношению всего перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло:

Средняя путевая скорость — это скалярная величина, равная отношению всего пути, пройденного телом, к промежутку времени, за которое этот путь пройден:

Важно! Чтобы определить среднюю скорость на всем участке пути, надо время разделить на отдельные промежутки и все время представить в виде суммы этих промежутков.
Чтобы определить среднюю скорость за все время движения, надо путь разделить на отдельные участки и весь путь представить как сумму этих участков.

Мгновенная скорость — это скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории.
Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории движения.

Ускорение

Ускорение – это векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости.

Обозначение — ​\( a \)​, единица измерения — м/с2.
В векторном виде:

где ​\( v \)​ – конечная скорость; ​\( v_0 \)​ – начальная скорость;
​\( t \)​ – промежуток времени, за который произошло изменение скорости.

В проекциях на ось ОХ:

где ​\( a_n \)​ – нормальное ускорение, ​\( a_{\tau} \)​ – тангенциальное ускорение.

Тангенциальное ускорение сонаправлено с вектором линейной скорости, а значит, направлено вдоль касательной к кривой:

Нормальное ускорение перпендикулярно направлению вектора линейной скорости, а значит, и касательной к кривой:

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости, а скорость – векторная величина, которая имеет модуль (числовое значение) и направление.

Важно! Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения модуля скорости. Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения направления скорости.

Если \( a_{\tau} \) ≠ 0, \( a_n \) = 0, то тело движется по прямой;

если \( a_{\tau} \) = 0, \( a_n \) = 0, ​\( v \)​ ≠ 0, то тело движется равномерно по прямой;
если \( a_{\tau} \) = 0, \( a_n \) ≠ 0, тело движется равномерно по кривой;
если \( a_{\tau} \) = 0, \( a_n \) = const, то тело движется равномерно по окружности;
если \( a_{\tau} \) ≠ 0, \( a_n \) ≠ 0, то тело движется неравномерно по окружности.

Равномерное движение

Равномерное движение – это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения.

Скорость при равномерном движении – величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло:

Проекция вектора скорости на ось ОХ:

Проекция вектора скорости на координатную ось равна быстроте изменения данной координаты:

График скорости (проекции скорости)

График скорости (проекции скорости) представляет собой зависимость скорости от времени:

График скорости при равномерном движении – прямая, параллельная оси времени.
График 1 лежит над осью ​\( t \)​, тело движется по направлению оси ОХ.
Графики 2 и 3 лежат под осью ​\( t \)​, тело движется против оси ОХ.

Перемещение при равномерном движении – это величина, равная произведению скорости на время:

Проекция вектора перемещения на ось ОХ:

График перемещения (проекции перемещения)

График перемещения (проекции перемещения) представляет собой зависимость перемещения от времени:

График перемещения при равномерном движении – прямая, выходящая из начала координат.
График 1 лежит над осью \( t \), тело движется по направлению оси ОХ.
Графики 2 и 3 лежат под осью \( t \), тело движется против оси ОХ.

По графику зависимости скорости от времени можно определить перемещение, пройденное телом за время \( t \). Для этого необходимо определить площадь фигуры под графиком (заштрихованной фигуры).

Координата тела при равномерном движении рассчитывается по формуле:

График координаты представляет собой зависимость координаты от времени: ​\( x=x(t) \)​.

График координаты при равномерном движении – прямая.
График 1 направлен вверх, тело движется по направлению оси ОХ:

График 2 параллелен оси ОХ, тело покоится.
График 3 направлен вниз, тело движется против оси ОХ:

Прямолинейное равноускоренное движение

Прямолинейное равноускоренное движение – это движение по прямой, при котором тело движется с постоянным ускорением:

При движении с ускорением скорость может как увеличиваться, так и уменьшаться.

Скорость тела при равноускоренном движении рассчитывается по формуле:

При разгоне (в проекциях на ось ОХ):

При торможении (в проекциях на ось ОХ):

График ускорения (проекции ускорения) при равноускоренном движении представляет собой зависимость ускорения от времени:

График ускорения при равноускоренном движении – прямая, параллельная оси времени.
График 1 лежит над осью t, тело разгоняется, ​\( a_x \)​ > 0.
График 2 лежит под осью t, тело тормозит, \( a_x \) < 0.

График скорости (проекции скорости) представляет собой зависимость скорости от времени:

График скорости при равноускоренном движении – прямая.
График 1 направлен вверх, тело движется равноускоренно в положительном направлении оси ОХ, ​\( v_{0x} \)​ > 0, ​\( a_x \)​ > 0.

График 2 направлен вниз, тело движется равнозамедленно в положительном направлении оси ОХ, \( v_{0x} \) > 0, \( a_x \) < 0,

График 3 направлен вниз, тело движется равноускоренно против оси ОХ, \( v_{0x} \) < 0, \( a_x \) < 0. По графику зависимости скорости от времени можно определить перемещение, пройденное телом за промежуток времени ​\( t_2-t_1 \)​. Для этого необходимо определить площадь фигуры под графиком (заштрихованной фигуры).

Перемещение при равноускоренном движении рассчитывается по формулам:

Перемещение в ​\( n \)​-ую секунду при равноускоренном движении рассчитывается по формуле:

Координата тела при равноускоренном движении рассчитывается по формуле:

Свободное падение (ускорение свободного падения)

Свободное падение – это движение тела в безвоздушном пространстве под действием только силы тяжести.

Все тела при свободном падении независимо от массы падают с одинаковым ускорением, называемым ускорением свободного падения.
Ускорение свободного падения всегда направлено к центру Земли (вертикально вниз).

Обозначение – ​\( g \)​, единицы измерения – м/с2.

Важно! \( g \) = 9,8 м/с2, но при решении задач считается, что \( g \) = 10 м/с2.

Движение тела по вертикали

Тело падает вниз, вектор скорости направлен в одну сторону с вектором ускорения свободного падения:

Если тело падает вниз без начальной скорости, то ​\( v_0 \)​ = 0.
Время падения рассчитывается по формуле:

Тело брошено вверх:

Если брошенное вверх тело достигло максимальной высоты, то ​\( v \)​ = 0.
Время подъема рассчитывается по формуле:

Движение тела, брошенного горизонтально

Движение тела, брошенного горизонтально, можно представить как суперпозицию двух движений:

  1. равномерного движения по горизонтали со скоростью ​\( v_0=v_{0x} \)​;
  2. равноускоренного движения по вертикали с ускорением свободного падения ​\( g \)​ и без начальной скорости ​\( v_{0y}=0 \)​.

Уравнение скорости:

Уравнение координаты:

Скорость тела в любой момент времени:

Дальность полета:

Угол между вектором скорости и осью ОХ:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту (баллистическое движение)

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно представить как суперпозицию двух движений:

  1. равномерного движения по горизонтали;
  2. равноускоренного движения по вертикали с ускорением свободного падения.

Уравнение скорости:

Уравнение координаты:

Скорость тела в любой момент времени:

Угол между вектором скорости и осью ОХ:

Время подъема на максимальную высоту:

Максимальная высота подъема:

Время полета:

Максимальная дальность полета:

Важно! При движении вверх вертикальная составляющая скорости будет уменьшаться, т. е. тело вдоль вертикальной оси движется равнозамедленно. При движении вниз вертикальная составляющая скорости будет увеличиваться, т. е.

тело вдоль вертикальной оси движется равноускоренно.

Скорость ​\( v_0 \)​, с которой тело брошено с Земли, будет равна скорости, с которой оно упадет на Землю.

Угол ​\( \alpha \)​, под которым тело брошено, будет равен углу, под которым оно упадет.

При решении задач на движение тела, брошенного под углом к горизонту, важно помнить, что в точке максимального подъема проекция скорости на ось ОУ равна нулю:

Это облегчает решение задач:

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью – простейший вид криволинейного движения.

Траектория движения – окружность. Вектор скорости направлен по касательной к окружности.

Модуль скорости тела с течением времени не изменяется, а ее направление при движении по окружности в каждой точке изменяется, поэтому движение по окружности – это движение с ускорением.

Ускорение, которое изменяет направление скорости, называется центростремительным.

Центростремительное ускорение направлено по радиусу окружности к ее центру.

Центростремительное ускорение – это ускорение, характеризующее быстроту изменения направления вектора линейной скорости.
Обозначение – ​\( a_{цс} \)​, единицы измерения – ​м/с2​.

Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью является периодическим движением, т. е. его координата повторяется через равные промежутки времени.
Период – это время, за которое тело совершает один полный оборот.
Обозначение – ​\( T \)​, единицы измерения – с.

где ​\( N \)​ – количество оборотов, ​\( t \)​ – время, за которое эти обороты совершены.
Частота вращения – это число оборотов за единицу времени.
Обозначение – ​\( u \)​, единицы измерения – с–1 (Гц).

Период и частота – взаимно обратные величины:

Линейная скорость – это скорость, с которой тело движется по окружности.
Обозначение – ​\( v \)​, единицы измерения – м/с.
Линейная скорость направлена по касательной к окружности:

Угловая скорость – это физическая величина, равная отношению угла поворота к времени, за которое поворот произошел.
Обозначение – ​\( \omega \)​, единицы измерения – рад/с .

Направление угловой скорости можно определить по правилу правого винта (буравчика). Если вращательное движение винта совпадает с направлением движения тела по окружности, то поступательное движение винта совпадает с направлением угловой скорости.

Связь различных величин, характеризующих движение по окружности с постоянной по модулю скоростью:

Важно!
При равномерном движении тела по окружности точки, лежащие на радиусе, движутся с одинаковой угловой скоростью, т. к. радиус за одинаковое время поворачивается на одинаковый угол. А вот линейная скорость разных точек радиуса различна в зависимости от того, насколько близко или далеко от центра они располагаются:

Если рассматривать равномерное движение двух сцепленных тел, то в этом случае одинаковыми будут линейные скорости, а угловые скорости тел будут различны в зависимости от радиуса тела:

Когда колесо катится равномерно по дороге, двигаясь относительно нее с линейной скоростью ​\( v_1 \)​, и все точки обода колеса движутся относительно его центра с такой же линейной скоростью \( v_1 \), то относительно дороги мгновенная скорость разных точек колеса различна.

Мгновенная скорость нижней точки ​\( (m) \)​ равна нулю, мгновенная скорость в верхней точке ​\( (n) \)​ равна удвоенной скорости ​\( v_1 \)​, мгновенная скорость точки ​\( (p) \)​, лежащей на горизонтальном радиусе, рассчитывается по теореме Пифагора, а мгновенная скорость в любой другой точке ​\( (c) \)​ – по теореме косинусов.

Основные формулы по теме «Кинематика»

Источник: https://fizi4ka.ru/egje-2018-po-fizike/kinematika.html

2.1. Кинематика. Механика. Физика. Курс лекций

Кинематика материальной точки

2.1.1. Механическое движение. Физические модели реальных тел, используемые в механике. Система отсчета. Траектория. Виды движений

2.1.2. Кинематические уравнения движения. Длина пути и вектор перемещения

2.1.3. Кинематические характеристики. Скорость

2.1.4. Кинематические характеристики. Ускорение

2.1.5. Поступательное и вращательное движение твердого тела

2.1.6. Связь между кинематическими характеристиками при различных видах движений

2.1.1. Механическое движение. Физические модели реальных тел, используемые в механике. Система отсчета. Траектория. Виды движений

1. Механическое движение– изменение положения тела или отдельных его частей в пространстве с течением времени.

Внутреннее строение движущихся тел, их химический состав не влияет на механическое движение. Для описания движения реальных тел в зависимости от условий задачи пользуются различными моделями: материальная точка, абсолютно твердое тело, абсолютно упругое тело, абсолютно неупругое тело и т.д.

Материальной точкой называется тело, размерами и формой которого можно пренебречь в условиях данной задачи. В дальнейшем вместо термина “материальная точка” будем употреблять термин “точка”.

Одно и то же тело можно свести к материальной точке в одной задаче, и необходимо учитывать его размеры в условиях другой задачи. Например, расчет движения самолета, летящего над Землей, можно производить, считая его материальной точкой.

А при расчете обтекания воздухом крыла того же самолета надо учитывать форму и размеры крыла.

Любое протяженное тело можно рассматривать как систему материальных точек.

Абсолютно твердое тело (а.т.т.) – тело, деформацией которого можно пренебречь в условиях данной задачи. А.т.т. можно рассматривать как систему жестко связанных между собой материальных точек, т.к. расстояние между ними не изменяются при любых взаимодействиях.

Абсолютно упругое тело – тело, деформация которого подчиняется закону Гука (см. § 2.2.2.), и после прекращения силового воздействия оно полностью восстанавливает первоначальные размеры и форму.

Абсолютно неупругое тело – тело, которое после прекращения силового воздействия на него не восстанавливается, а полностью сохраняет деформированное состояние.

2. Для определения положения тела в пространстве и во времени надо ввести понятие системы отсчета. Выбор системы отсчета произволен.

Системой отсчета называется тело или группа тел, считающиеся условно неподвижными и снабженные устройством отсчета времени (часами, секундомером и т.д.), относительно которых рассматривается движение данного тела.

Неподвижное тело (или группу тел) называют телом отсчета и для удобства описания движения с ним связывают систему координат (декартову, полярную, цилиндрическую и т.д.).

Выберем в качестве системы координат декартову прямоугольную систему XYZ (подробно см.[8]). Положение точки С в пространстве можно определить координатами х, y, z (Рисунок 1).

Рисунок 1 – Определение положения точки в декартовой системе координат

Однако положение той же точки в пространстве можно задать с помощью одной векторной величины r = r(x, y, z), называемой радиус-вектором точки С (Рисунок 1).

3. Линия, которую тело описывает при своем движении, называется траекторией. По виду траектории движения можно разделить на прямолинейные и криволинейные. Траектория зависит от выбора системы отсчета.

Так, траектория движения точек винта самолета относительно летчика – окружность, а относительно Земли – винтовая линия.

Другой пример: какова траектория движения кончика иглы проигрывателя относительно пластинки? корпуса проигрывателя? корпуса звукоснимателя? Ответы таковы: спираль, дуга окружности, состояние покоя (игла неподвижна).

2.1.2. Кинематические уравнения движения. Длина пути и вектор перемещения

1. При движении тела относительно выбранной системы координат его положение изменяется с течением времени. Движение материальной точки будет полностью определено, если заданы непрерывные и однозначные функции времени t:

x = x(t), y = y(t), z = z(t).

Эти уравнения описывают изменение координат точки от времени и называются кинематическими уравнениями движения.

2. Путь – часть траектории, пройденной телом за определенный промежуток времени. Момент времени t0, от которого начинается его отсчет, называется начальным моментом времени, обычно t0=0 в силу произвольного выбора начала отсчета времени.

Длиной пути называется сумма длин всех участков траектории. Длина пути не может быть величиной отрицательной, она всегда положительна. Например, материальная точка переместилась из точки траектории С сначала в точку А, а затем в точку В (Рисунок 1). Длина ее пути равна сумме длин дуги СА и дуги АВ.

2.1.3. Кинематические характеристики. Скорость

1. Для характеристики быстроты движения тел в физике вводится понятие скорости. Скорость – вектор, а значит, характеризуется величиной, направлением, точкой приложения.

Рассмотрим движение вдоль оси Х. Положение точки будет определяться изменением со временем координаты Х.

Если за время произошло перемещение точки на ∆r, то величина является средней скоростью движения: .

Средней скоростью движущегося тела называется вектор, равный отношению вектора перемещения к величине промежутка времени, за которое это перемещение произошло.

Модуль средней скорости есть физическая величина, численно равная изменению пути за единицу времени.

2. Для определения скорости в данный момент времени, мгновенной скорости, нужно рассмотреть интервал времени t→0, тогда

Используя понятие производной, можно записать для скорости

Скорость тела в данный момент времени называется мгновенной скоростью (или просто скоростью).

Вектор V мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения тела.

2.1.4. Кинематические характеристики. Ускорение

1. Быстрота изменения вектора скорости характеризуется величиной, называемой ускорением. Ускорение может возникнуть как за счет изменения величины скорости, так и за счет изменения направления скорости.

Пусть в момент времени t скорость тела равна v1, а через промежуток времени t в момент времени t + t равна v2, приращение вектора скорости за t равно v.

Средним ускорением тела в интервале времени от t до t + t называется вектор аср, равный отношению приращения вектора скорости v к промежутку времени t:

Cреднее ускорение есть физическая величина, численно равная изменению скорости за единицу времени.

2. Для определения ускорения в данный момент времени, т.е. мгновенного ускорения, нужно рассмотреть малый интервал времени t→0. Тогда вектор мгновенного ускорения равен пределу вектора среднего ускорения при стремлении промежутка времени t к нулю:

Используя понятие производной, можно дать для ускорения следующее определение: Ускорением (или мгновенным ускорением) тела называется векторная величина а, равная первой производной по времени от скорости тела v или второй производной по времени от пути.

3. При вращении точки по окружности ее скорость может изменяться по величине и по направлению (рисунок 2)

Рисунок 2 – Изменение скорости точки при вращении по окружности

На рисунке 2 в положении 1 скорость точки v1, в положении 2 скорость точки v2. Модуль скорости v2 больше модуля скорости v1, ∆vвектор изменения скорости ∆v = v2 –v1

Вращающаяся точка имеет тангенциальное ускорение, равное аτ=dv/dt, оно изменяет скорость по величине и направлено по касательной к траектории; и нормальное ускорение, равное аn= v2/R, оно меняет направление скорости и направлено по радиусу окружности (R) (см. Pисунок 3)

Рисунок 3 – Полное, тангенциальное и нормальное ускорения вращающейся точки

Вектор полного ускорения равен , т.е. он может быть представлен как сумма векторов тангенциального aτ и нормального an ускорений. Модуль полного ускорения равен:

2.1.5. Поступательное и вращательное движение абсолютно твердого тела

1. До сих пор речь шла о характере движения, о траектории, о кинематических характеристиках, но не рассматривалось само движущееся тело. Пример. Движется автомобиль. Он является сложным телом. Движения его кузова и колес различны. Если тело сложное, то возникает вопрос: к движению каких частей тела относятся понятия пути, скорости, ускорения, введенные ранее?

Прежде, чем ответить на этот вопрос, надо выделить формы механического движения. Каким бы сложным не было движение тела, его можно свести к двум основным: поступательному движению и вращению вокругнеподвижной оси.

Колебательное движение будет рассмотрено отдельно. В примере с автомобилем поступательно движется кузов автомобиля. Сам автомобиль является телом, которое может быть рассмотрено с помощью модели абсолютно твердого тела (а.т.т.).

Для краткости мы будем называть абсолютно твердое тело просто твердое тело.

Поступательным движением твердого тела называется движение, при котором любая прямая, проведенная между его двумя точками, остается при движении параллельна самой себе.

Поступательное движение может быть и не прямолинейным движением.

Примеры. 1) В аттракционе “Колесо обозрения” кабинки – люльки, в которых сидят люди, двигаются поступательно.

2) Если стакан с водой перемещать по траектории, представленной на рисунке 5 так, чтобы поверхность воды и направляющая стакана составляли бы прямой угол, то движение стакана является не прямолинейным, но поступательным. Прямая АВ остается при движении стакана параллельна самой себе.

Рисунок 4 – Пример поступательного движения твердого тела.

Особенностью поступательного движения твердого тела является то, что все точки тела описывают одинаковую траекторию, проходят за определенные промежутки времени t одинаковые пути и в любой момент времени имеют одинаковые скорости.

Поэтому кинематическое рассмотрение поступательного движения твердого тела сводится к изучению движения любой из его точек. Поступательное движение тела может быть сведено к движению материальной точки. В динамике обычно за такую точку принимают центр масс тела.

Кинематические характеристики и кинематические уравнения, вводимые для материальной точки, описывают и поступательное движение твердого тела.

2. Движение колес автомобиля отличается от движения кузова. Точки колеса, находящиеся на разных расстояниях от его оси, описывают разные траектории, проходят различные пути и имеют разные скорости.

Чем дальше точка находится от оси колеса, тем больше ее скорость, тем больший путь она проходит за определенный промежуток времени. Движение, в котором участвуют колеса автомобиля, называется вращательным. Ясно, что модель материальной точки для описания вращения реального тело не подходит.

Но и здесь вместо реального тела (например, колеса автомобиля с деформируемыми шинами и т.д.) используют физическую модель – абсолютно твердое тело.

Вращательным движением твердого тела называется движение, когда все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на прямой, называемой осью вращения и перпендикулярной к плоскостям, в которых вращаются точки тела (Рисунок 5).

Так как для разных точек вращающегося тела траектории, пути, скорости различны, то встает вопрос: можно ли найти физические величины, которые имели бы одинаковые значения для всех точек вращающегося тела, Да, оказывается, есть такие величины, они называются угловыми.

Рисунок 5 – Вращение твердого тела

Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы, его положение в пространстве полностью определяется значением угла поворота ∆φ из некоторого начального положения (Рисунок 5). Все точки твердого тела повернутся за промежуток времени ∆ на угол ∆φ.

При малых промежутках времени, когда углы поворота невелики, их можно рассматривать как векторы, хотя и не совсем обычные. Вектор элементарного (бесконечно малого) угла поворота ∆φ направлен вдоль оси вращения по правилу правого буравчика, его модуль равен углу поворота (Рисунок 5). Вектор ∆φ называется угловым перемещением.

Правило правого буравчика заключается в следующем:

Если рукоятка правого буравчика вращается вместе с телом (точкой), то поступательное движение буравчика совпадает с направлением ∆φ.

Другая формулировка правила: Из конца вектора ∆φвидно, что движениеточки (тела) происходит против часовой стрелки.

Положение тела в любой момент времени t определяется кинематическим уравнением вращательного движения ∆φ = ∆φ(t).

3. Для характеристики быстроты вращения служит угловая скорость.

Средней угловой скоростью называется физическая величина, равнаяотношению углового перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло

Предел, к которому стремится средняя угловая скорость при ∆→0, называется мгновенной угловой скоростью тела в данный момент времени или просто угловой скоростью вращения твердого тела (точки).

Угловая скорость равна первой производной от углового перемещения по времени. Направление мгновенной угловой скорости определяется по правилу правого буравчика и совпадает с направлением ∆φ (Рисунок 6). Кинематическое уравнение движения для угловой скорости имеет вид ω = ω (t).

Рисунок 6 – Направление векторов угловых характеристик при вращательном движении.

4. Для характеристики быстроты изменения угловой скорости тела при неравномерном вращении вводится вектор углового ускорения β, равный первой производной от его угловой скорости ω по времени t.

Среднее угловое ускорение есть величина отношения изменения угловой скоростиω к промежутку времени ∆t, за которое это изменение произошлоβ ср = ∆ω/∆t

Вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения и совпадает с направлением угловой скорости, если движение ускоренное, и противоположен ему, если вращение замедленное (Рисунок 6).

5. При вращательном движении твердого тела все его точки двигаются так, что вращательные характеристики (угловое перемещение, угловая скорость, угловое ускорение) для них одинаковы. А линейные характеристики движения зависят от расстояния точки до оси вращения.

Связь между этими величинами v, ω, r задается следующим соотношением:

v = [ωr],

т.е. линейная скорость v любой точки С твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω, равна векторному произведению ω на радиус-вектор r точки С относительно произвольной точки О на оси вращения.

Подобное соотношение существует между линейным и угловым ускорениями вращающейся точки твердого тела:

а = [βr].

2.1.6. Связь между кинематическими характеристиками при различных видах движений

По зависимости скорости и ускорения от времени все механические движения делятся на равномерное, равнопеременное (равноускоренное и равнозамедленное) и неравномерное.

Рассмотрим кинематические характеристики и кинематические уравнения, введенные в предыдущих параграфах, для разных видов движений.

Прямолинейное равномерное движение

Направление движения задается осью ОХ.

Ускорение а = 0 (аn = 0, аτ = 0), скорость v = const, путь s = v∙t, координата x = x0 v∙t, где x0 – начальная координата тела на оси ОХ.

Путь – величина всегда положительная. Координата может быть и положительной и отрицательной, поэтому в уравнении, задающем зависимость координаты от времени, перед величиной v∙t в уравнении стоит знак плюс, если направление оси ОХ и направление скорости совпадают, и знак минус, если они противоположно направлены.

Прямолинейное равнопеременное движение

Ускорение а = аτ = const, аn = 0, скорость , путь , координата .

Перед величиной (at) в кинематическом уравнении для скорости знак плюс соответствует равноускоренному движению, а знак минус – равнозамедленному движению. Это замечание верно и для кинематического уравнения пути, разные знаки перед величинами (at2/2) соответствуют разным видам равнопеременного движения.

В уравнении для координаты знак перед (v0t) может быть и плюс, если направления v0 и оси ОХ совпадают, и минус, если они направлены в разные стороны.

Разные знаки перед величинами соответствуют равноускоренному или равнозамедленному движениям.

Прямолинейное неравномерное движение

Ускорение а = аτ>≠ const, аn = 0,

скорость , путь .

2. Поступательное движение

Для описания поступательного движения можно использовать законы, приведенные в §2.1.6. (пункт 2) или §2.1.4. (пункт3). Использование тех или иных законов для описания поступательного движения зависит от его траектории. Для прямолинейной траектории используются формулы из §2.1.6. (пункт 2), для криволинейной – §2.1.4. (пункт3).

3. Вращательное движение

Отметим, что решение всех задач на вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси аналогично по форме задачам на прямолинейное движение точки. Достаточно заменить линейные величины s, vх, aх на соответствующие угловые величины φ, ω, β, и мы получим все закономерности и соотношения для вращающегося тела.

Равномерное вращение по окружности

(R – радиус окружности).

Ускорение: полное а = аn, нормальное , тангенциальное аτ = 0, угловое β = 0.

Скорость: угловая ω = const, линейная v = ωR = const.

Угол поворота ∆φ = ∆ φ0 + ωt, ∆φ0 – начальное значение угла. Угол поворота величина положительная (аналог пути).

Периодом вращения называется промежуток времени T, в течении которого тело, равномерно вращаясь с угловой скоростью ω, совершает один оборот вокруг оси вращения. При этом тело поворачивается на угол 2π.

.

Частота вращения показывает число оборотов, совершаемых телом за единицу времени при равномерном вращении с угловой скоростью ω:

.

Равнопеременное вращение по окружности

Ускорение: угловое β = const, тангенциальное аτ = βR=const, нормальное аn = ω 2R ≠ const, полное

Скорость: угловая ω = ω0 ( βt), линейная

Угловое перемещение .

Все сказанное ранее относительно знаков в кинематических уравнениях для прямолинейного равнопеременного движения остается верным и для кинематических уравнений вращательного движения: плюс в формулах относится к равноускоренному вращению, минус – к равнозамедленному.

Неравномерное вращение

Ускорение: аτ = аτ (t), аn = а n(t), β ≠ const,

Скорость:

Угловая ω = dφ/dt, линейная .

Источник: https://siblec.ru/estestvennye-nauki/mekhanika/2-1-kinematika

Vse-referaty
Добавить комментарий