Кинематика точки, сложное движение точки, движение точки вокруг неподвижной оси

4. Кинематика сложного движения точки

Кинематика точки, сложное движение точки, движение точки вокруг неподвижной оси

    Сисследованием движения точки мы ужеознакомились при изучении раздела“Кинематика точки”. Тогда предполагалось,что точка движется по заданному законуотносительно неподвижного тела (илиотносительно неподвижной системыотсчета).

    Еслиже точка движется по заданному законуотносительно тела, а тело, в свою очередь,перемещается относительно неподвижнойсистемы отсчета, то движение точкиотносительно неподвижной системыотсчета называется сложным или составным:оно складывается из движения точки потелу и движения вместе с этим телом.

    Напримермяч, катящийся по палубе плывущего вдольберега теплохода, совершает относительноберега сложное движение, которое состоитиз качения по палубе и движения вместес палубой (теплоходом).

Сложное движениеотносительно платформы совершаетчеловек, идущий внутри вагона движущегосяпоезда. Шарик, вылетающий из вращающейсятрубки, совершает сложное движениеотносительно неподвижной стойки.

Подстойкой здесь и в дальнейшем понимаетсянекоторое неподвижное основание.

    Рассмотримдвижение точки М (рис. 4.1) по траектории1–1 внутри тела А, которое, в свою очередь,движется относительно неподвижноготела В (стойки). Движение точки М поотношению к телу В есть сложное движение.

Системакоординатных осей О1х1у1z1,связанная с движущимся телом А, называетсяподвижной системой

Рис.4.1

    Системаосей Охуz, связанная с неподвижным теломВ (стойкой), называется неподвижнойсистемой отсчета.

    Движениеточки относительнотела(илиотносительно О1х1у1z1)по траектории 1–1 называется относительнымдвижением точки М. Скорость и ускорениеточки М в этом движении есть относительнаяскорость и относительное ускорениеточки М, их обозначают Vrиarсоответственно.

Движениетела А (или системы О1х1у1z1)относительно стойки (относительно Охуz)называется переносным движением.Переносной скоростью (ускорением) точкиМ называется скорость (ускорение) точкитела А, с которой в данный момент совпадаетдвижущаяся по телу точка М. Поясним этоопределение.

Рис. 4.2.В каждый момент времени точка М совпадает с некоторой точкой М' тела А (рис. 4.2). Скорость (ускорение) точки М' и есть переносная скорость (ускорение) точки М. Переносную скорость и переносное ускорение обозначают Vеиае.

    Движениеточки М (рис. 4.1) относительно стойки(или относительно Охуz) называетсяабсолютным движением точки М. Скоростьи ускорение точки в этом движении естьабсолютная скорость и абсолютноеускорение точки М, их обозначают Vаиaа.

    Обратитевнимание на взаимную связь относительногои переносного движений: относительноедвижение – движение точки по перемещающемусятелу, движение же этого тела – переносноедвижение. Обратите также внимание наразличие в определениях относительногои абсолютного движений, хотя этиопределения формально очень похожи.

    Важнойоперацией исследования кинематикисложного движения является выделениеотносительного, переносного и абсолютногодвижений в конкретном случае сложногодвижения точки.

Эту операцию будемназывать анализом сложного движенияточки. Анализ выполняется в соответствиис установленными выше определениямиотносительного, переносного и абсолютногодвижений. Для рассмотренного выше случая(см.

рис. 4.1) результат анализа будеттаким:

  • относительное движение – движение точки М по телу А;
  • переносное движение – движение тела А относительно тела В (относительно стойки);
  • абсолютное движение – движение точки М относительно тела В (относительно стойки).

    Прианализе сложного движения точки надоиметь в виду, что объектом относительногои абсолютного движений является однаи та же точка; объектом же переносногодвижения является тело, по которомуточка совершает относительное движение.

Из-за наличия взаимной связи относительногои переносного движений их выделениепроисходит всегда одновременно: еслиВы указали относительное движение точкипо перемещающемуся телу, то перемещениеэтого тела следует назвать переноснымдвижением.

    Рассмотримвыполнение анализа сложного движенияточки на конкретных примерах.

    Пример1

Рис. 4.3.Мостовой кран АВ (рис. 4.3) перемещается вдоль цеха, изображенного на рисунке прямоугольником ОСDE.По крану движется тележка М. Требуется выполнить анализ сложного движения тележки.

    Начнемс выделения относительного движения,учитывая, что это движение точки поперемещающемуся телу. В данном примереотносительное движение – движениетележки М (точки М) по крану.

    Послетого как относительное движение названо,становится очевидным, что переносноедвижение – движение крана АВ вдоль цехаOCDE.

    Взавершение укажем абсолютное движение.По определению – это движение точкиотносительно стойки (неподвижной системыотсчета). В рассматриваемом примереабсолютное движение – движение тележкиотносительно цеха OCDE.

    Пример2

Рис.4.4.По трубке, изогнутой в форме окружности, непрерывно течет жидкость. Трубка, в свою очередь, вращается вокруг оси О, перпендикулярной стойке (рис. 4.4). Требуется выполнить анализ сложного движения частицы М жидкости.

    Относительнымдвижением или движением точки поперемещающемуся телу здесь будетдвижение частицы М по трубке. Переносноедвижение – вращение трубки вокруг осиО стойки. Абсолютное движение – движениечастицы М относительно стойки.

    Возвращаяськ условию двух приведенных примеров,отметим, что относительное и переносноедвижения в них были, по существу, заданы:была известна траектория относительногодвижения (прямая – в первом примере,окружность – во втором).

Так же былопределен и вид переносного движения(в первом примере – поступательноедвижение крана, во втором – вращениетрубки вокруг оси).

Траектория жеабсолютного движения точки в этихпримерах не определялась, так какпредполагалось, что все параметрыабсолютного движения могут быть найденыпо заданным параметрам относительногои переносного движений.

    Значительнаячасть задач на сложное движение точкиимеет иной характер: условием задачиопределяется траектория абсолютногодвижения точки, а параметры относительногоили переносного движения требуетсянайти. Такие задачи можно считатьобратными по отношению к задачам,рассмотренным в первых примерах.

    Приведемпримеры обратных задач.

    Пример3

Рис. 4.5.На неподвижную проволочную окружность надето колечко М (рис. 4.5), через него проходит стержень ОА, вращающийся вокруг оси О, перпендикулярной стойке. Требуется выполнить анализ сложного движения колечка М.

    Абсолютноедвижение или движение точки относительнонеподвижного тела в этом примереотчетливо видно: это движение колечкаМ по проволочной окружности, расположеннойна стойке. Относительное движение илидвижение точки по перемещающемуся телуздесь – скольжение колечка М по стержнюОА, а переносное движение – вращениестержня ОА вокруг оси О стойки.

    Пример4

    Вкулисном механизме (рис. 4.6) при вращениикривошипа ОМ вокруг оси О, перпендикулярнойстойке, ползун М, перемещаясь вдольстержня АВ, заставляет его вращатьсявокруг оси А, так же перпендикулярнойстойке. Требуется выполнить анализсложного движения ползуна М.

    Абсолютноедвижение здесь тоже легко определить:это движение ползуна (точки М) поокружности, расположенной на стойке.На рис. 4.6 эта окружность изображенаштрихами, ее радиус ОМ. Относительноедвижение или движение точки поперемещающемуся телу здесь – скольжениеползуна М по стержню АВ, а переносноедвижение – вращение стержня вокруг осиА.

    Вовсех рассмотренных примерах под точкой,совершающей сложное движение,подразумевается тело, размерами которогомы пренебрегали. Это была тележка крана,частица жидкости, колечко, ползун.

    Вряде задач на сложное движение такоготела нет.

    Этозадачи из кинематики кулачковыхмеханизмов, у которых ведущие и ведомыезвенья (кулачок и толкатель) касаютсядруг друга в одной точке. В таких случаяхможно считать, что сложное движениесовершает точка одного из звеньев вместе контакта.

    Пояснимсказанное на примере.

    Пример5

Рис. 4.7.Кулачок А (рис. 4.7), перемещаясь по горизонтальной плоскости вдоль оси х, приводит в движение толкатель ВМ, скользящий в вертикальных направляющих. Требуется выполнить анализ сложного движения точки М толкателя. Точка М толкателя движется относительно неподвижной плоскости (стойки) по вертикали. Это, очевидно, абсолютное движение точки М.

    Можнозаметить также, что точка М толкателяскользит по поверхности движущегосякулачка. Это знакомое нам сочетаниеотносительного и переносного движений:относительное – движение точки М поповерхности кулачка, переносное –движение кулачка.

    Выполнитьразделение движений в подобных задачахбудет значительно проще, если в местеконтакта звеньев поместить дополнительноетело пренебрежимо малых размеров.

Этоточечное тело должно проскальзыватьпо одному звену и в то же время совпадатьс точкой контакта второго звена. Такимдополнительным телом может быть колечко,ползун, шарик.

Дополнительное тело можносчитать точкой, совершающей сложноедвижение.

Рис.4.8.В условиях примера 5 поместим в точке контакта кулачка и толкателя шарик М (рис. 4.8).При движении кулачка вдоль оси х (переносное движение) шарик М будет перекатываться по поверхности кулачка (относительное движение шарика) и подниматься вверх вместе с толкателем (абсолютное движение шарика).

   Каквидим, после установки шарика легчевыявить относительное и переносноедвижения.

    Введениедополнительных тел особенно целесообразнов случаях, когда передача движения отзвена к звену осуществляется с помощьюгибких поворачивающихся нитей.

    Пример6

    Вмеханизме на рис. 4.9 движение штока АМв горизонтальных направляющих передаетсяпосредством гибкого троса грузу В. Чтобыустановить зависимость междухарактеристиками движения штока АМ игруза В, надо представить, что точка Мсовершает сложное движение.

    Еедвижение относительно стойки погоризонтали, очевидно, – абсолютноедвижение.

    Увидетьотносительное и переносное движенияпоможет введение стержня ОС (рис. 4.10),поворачивающегося вокруг О, и ползунаМ, скользящего на этом стержне. (Шток АМи ползун М соединены шарнирно).

                                               Рис.4.9                       Рис. 4.10

    Притаком дополнении механизма горизонтальноедвижение штока АМ вызывает не толькоподъем (или опускание) груза В, но иповорот стержня ОС вокруг О, а такжескольжение ползуна М по стержню. Очевидно,относительным движением точки М(ползуна М) надо считать ее движениевдоль стержня ОС, а переносным движением– поворачивание стержня ОС вокруг О.

    Еслитеперь вернуться к схеме механизма нарис. 4.9, то можно считать, что относительноедвижение точки М есть ее движение вдольтроса МN, а переносное движение –поворачивание троса вокруг N. Увидетьэто без рассмотрения схемы на рис. 4.10затруднительно.

Источник: https://studfile.net/preview/990037/page:11/

Сложное движение точки. Пример решения задачи

Кинематика точки, сложное движение точки, движение точки вокруг неподвижной оси

Рассмотрен пример решения задачи со сложным движением точки. Точка движется по прямой вдоль пластины. Пластина вращается вокруг неподвижной оси. Определяется абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки.

Теория, применяемая для решения приведенной ниже задачи, излагается на странице “Сложное движение точки, теорема Кориолиса”.

Условие задачи

Рисунок к условию задачи

Прямоугольная пластина вращается вокруг неподвижной оси по закону   φ = 6t 2 – 3t 3 . Положительное направление отсчета угла φ показано на рисунках дуговой стрелкой. Ось вращения OO 1 лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).

По пластине вдоль прямой BD движется точка M . Задан закон ее относительного движения, т. е. зависимость   s = AM = 40(t – 2t 3) – 40   (s – в сантиметрах, t – в секундах). Расстояние b = 20 см. На рисунке точка M показана в положении, при котором   s = AM > 0 (при   s < 0 точка M находится по другую сторону от точки A).

Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки M в момент времени   t 1 = 1 с.

Указания. Эта задача – на сложное движение точки. Для ее решения необходимо воспользоваться теоремами о сложении скоростей и о сложении ускорений (теорема Кориолиса).

Прежде чем производить все расчеты, следует по условиям задачи определить, где находится точка M на пластине в момент времени   t 1 = 1 с, и изобразить точку именно в этом положении (а не в произвольном, показанном на рисунке к задаче).

Решение задачи

Дано: b = 20 см, φ = 6t 2 – 3t3, s = |AM| = 40(t – 2t3) – 40, t1 = 1 c.

Найти: vабс, aабс

Определение положения точки

Определяем положение точки в момент времени t = t1 = 1 c.
s = 40(t1 – 2t13) – 40 = 40(1 – 2·13) – 40 = –80 см.
Поскольку s < 0, то точка M ближе к точке B, чем к D.
|AM| = |–80| = 80 см.
Делаем рисунок.

Относительная, переносная и абсолютная скорость точки M

Определение абсолютной скорости точки

Согласно теореме о сложении скоростей, абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.

Определение относительной скорости точки

Определяем относительную скорость   . Для этого считаем, что пластина неподвижна, а точка M совершает заданное движение. То есть точка M движется по прямой BD.

Дифференцируя s по времени t, находим проекцию скорости на направление BD:
.
В момент времени t = t1 = 1 с,
см/с.
Поскольку   , то вектор     направлен в направлении, противоположном BD. То есть от точки M к точке B.

Модуль относительной скорости
vот = 200 см/с.
Изображаем вектор     на рисунке.

Определение переносной скорости точки

Определяем переносную скорость   . Для этого считаем, что точка M жестко связана с пластиной, а пластина совершает заданное движение. То есть пластина вращается вокруг оси OO1. Дифференцируя φ по времени t, находим угловую скорость вращения пластины:
.

В момент времени t = t1 = 1 с,
.
Поскольку   , то вектор угловой скорости     направлен в сторону положительного угла поворота φ, то есть от точки O к точке O1. Модуль угловой скорости:
ω = 3 с-1.

Изображаем вектор угловой скорости пластины     на рисунке.

Из точки M опустим перпендикуляр HM на ось OO1.
При переносном движении точка M движется по окружности радиуса |HM| с центром в точке H.
|HM| = |HK| + |KM| = 3b + |AM| sin 30° = 60 + 80·0,5 = 100 см; Переносная скорость:

vпер = ω|HM| = 3·100 = 300 см/с.

Вектор     направлен по касательной к окружности в сторону вращения.

Определение абсолютного ускорения точки

Согласно теореме о сложении ускорений (теорема Кориолиса), абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:
, где

– кориолисово ускорение.

Относительное, переносное, кориолисово и абсолютное ускорение точки M

Определение относительного ускорения

Определяем относительное ускорение   . Для этого считаем, что пластина неподвижна, а точка M совершает заданное движение. То есть точка M движется по прямой BD.

Дважды дифференцируя s по времени t, находим проекцию ускорения на направление BD:
.
В момент времени t = t1 = 1 с,
см/с2.
Поскольку   , то вектор     направлен в направлении, противоположном BD. То есть от точки M к точке B.

Модуль относительного ускорения
aот = 480 см/с2.
Изображаем вектор     на рисунке.

Определение переносного ускорения

Определяем переносное ускорение   . При переносном движении точка M жестко связана с пластиной, то есть движется по окружности радиуса |HM| с центром в точке H. Разложим переносное ускорение на касательное к окружности     и нормальное     ускорения:
.

Дважды дифференцируя φ по времени t, находим проекцию углового ускорения пластины на ось OO1:
.
В момент времени t = t1 = 1 с,
с –2.
Поскольку   , то вектор углового ускорения     направлен в сторону, противоположную положительного угла поворота φ, то есть от точки O1 к точке O. Модуль углового ускорения:
ε = 6 с-2.

Изображаем вектор углового ускорения пластины     на рисунке.

Переносное касательное ускорение:
aτпер = ε |HM| = 6·100 = 600 см/с2.
Вектор     направлен по касательной к окружности. Поскольку вектор углового ускорения     направлен в сторону, противоположную положительного угла поворота φ, то     направлен в сторону, противоположную положительному направлению поворота φ . То есть направлен в сторону оси x .

Переносное нормальное ускорение:
anпер = ω2 |HM| = 32·100 = 900 см/с2.
Вектор     направлен к центру окружности. То есть в сторону, противоположную оси y .

Определение кориолисова ускорения

Кориолисово (поворотное) ускорение:
.
Вектор угловой скорости     направлен вдоль оси z . Вектор относительной скорости     направлен вдоль прямой |DB|. Угол между этими векторами равен 150° .

По свойству векторного произведения,
.
Направление вектора     определяется по правилу буравчика.

Если ручку буравчика повернуть из положения     в положение   , то винт буравчика переместится в направлении, противоположном оси x .

Определение абсолютного ускорения

Абсолютное ускорение:
.
Спроектируем это векторное уравнение на оси xyz системы координат.

;

;

. Модуль абсолютного ускорения:
.

Ответ

Абсолютная скорость   ;
абсолютное ускорение   .

Олег Одинцов.     : 10-01-2016

Источник: https://1cov-edu.ru/termeh/kinematika/tela/slozhnoe_dvizhenie_tochki/primer/

Vse-referaty
Добавить комментарий