Применение криволинейных интегралов в физике

Содержание
  1. 12.Применение криволинейного интеграла 1-го рода
  2. Применение в механике
  3. 13.Криволинейный интеграл 2-го рода (по координатам) как придел интегральной суммы
  4. 14. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода
  5. 15. Применение криволинейного интеграла 2-го рода
  6. 16. Поверхностный интеграл 1-го рода (по площади поверности)
  7. 17.Вычисление и применение поверхностного интеграла 1-го рода
  8. 18. Поверхностный интеграл 2-го рода (по координатам) как предел интегральной суммы, его свойства
  9. Статья
  10. Физические приложения криволинейных интегралов
  11. Применение криволинейных интегралов в физике
  12. Приложение криволинейных интегралов к решению задач по физике – международный студенческий научный вестник (электронный научный журнал)
  13. Библиографическая ссылка
  14. применение интеграла – математика_11,2012
  15. 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ СИЛЫ
  16. 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ, ПРОИЗВОДИМОЙ ПРИ ПОДНЯТИИГРУЗА
  17. 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ СИЛЫ ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ
  18. 5. ДЛИНА ДУГИ
  19. 6. ЦЕНТР МАСС

12.Применение криволинейного интеграла 1-го рода

Применение криволинейных интегралов в физике

1.Площадь цилиндрической поверхности,определенной функцией ,определяют по формуле.2.Длину кривой AB определяют по формуле .

Применение в механике

Пустьдана материальная кривая L, плотностьна которой меняется по формуле .1.Масса кривой: . 2.Статические моменты кривой относительноосей Ox и Oy:

13.Криволинейный интеграл 2-го рода (по координатам) как придел интегральной суммы

z

Составим интегральную сумму

1.Разобьем дугу АВ в направлении Ак точкиВ

2.Обозначимвектор Ci-1Ciчерезi

3.Выберемна каждой дуге некоторую точку Di(xi,yi,zi)

4.Вычислимскалярное произведение F(xi,yi,zi)

Составиминтегральную сумму для функции

F(x,y,z)по криво АВ

Криволинейныйинтеграл по координатам функциинескольких

ПеременныхF=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)kпо кривой АВ

Свойства:

1.Криволинейный интеграл при изменениинаправления кривой меняет знак.

2. 

3. 

4. 

14. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода

1.Кривая задана параметрическиx=x(t) y=y(t)
Плоская кривая задана параметрически
Плоская кривая задана явным образом

15. Применение криволинейного интеграла 2-го рода

1.Вычисление длины кривой L по формуле|L|=

2.Вычисление площади Gплоской фигуры с помощью криволи- нейногоинтеграла 2-го рода по формулам:

3.Вычисление массы кривой и центра масс.

16. Поверхностный интеграл 1-го рода (по площади поверности)

Определение:Конечный предел интегральной суммыфункции F(x,y,z)на поверхности σесли максимальный диаметр частичнойповерхности частично не уменьшаетсячисло разбиений увеличивается, то такойпредел называется повторныйинтеграл 1-го рода функции по поверхности

Обозначается:

Теоремао существовании: Если f(x,y,z)направленна в каждой точке гладкойповерхности σ,то предел её интегральной суммы на этойповерхности maxdi->0n->существует конечный интегю. И не зависитне от способа разбиения поверхности неот выбора точек на каждой частиповерхности.

17.Вычисление и применение поверхностного интеграла 1-го рода

Поверхностныйинтеграл 1-го рода сводится к вычислениюдвойных интегралов.

Положимповерхность σлюбая прямая параллельна оси OZпересекает поверхность не более чем водной точке, тогда уравнение поверхностиоднозначно представляться в видеz=z(x,y).Тогда формула перехода от поверхностногоинтеграла 1-го рода к двойному:

Применение

  1. Площадь поверхности. Если гладкая поверхность S задана явным уравнением z  z(x, y) , то ее площадь S вычисляется по формуле

  1. Масса m материальной поверхности S равна

  1. Статические моменты материальной поверхности S относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz находятся соответственно по формулам:

18. Поверхностный интеграл 2-го рода (по координатам) как предел интегральной суммы, его свойства

ПустьS-двухсторонняя поверхность с выбраннымнаправлением нормали

  1. Разобьем область S произвольным образом (S1) (

  2. В каждой области (выберем произвол.

  3. Обозначим через площадь проекциина плоскостьXOY

  4. Вычислим произведение R(M1)*сумма вида

In(- называется интегральной суммой дляфункции R(x,y,z)по поверхности (s)по переменным xy

Определение:Конечный предел интегральной суммыIn()при называется поверхностный интеграл покоординатам (x,y)от функции R(x,y,z)по поверхности (S)

Обозначают:

Аналогичноопределяются интегралы

Сумму

записываютв виде

иназывают поверхностныминтегралом II рода (по координатам).

Свойства:

  1. Поверхностный интеграл II рода зависит от стороны поверхности ( т.е. от выбора нормали). При перемене стороны поверхности ( S) поверхностный интеграл II рода меняет знак.

  2. Постоянный множитель можно выносить за знак поверхност – ного интеграла II рода, т.е.

  1. Поверхностный интеграл II рода от алгебраической суммы двух (конечного числа) функций равен алгебраической сумме поверхностных II рода от этих функций, т. е.

  1. Если поверхность ( S) разбита на две части ( S1) и ( S2), не имеющих общих внутренних точек, то

Источник: https://studfile.net/preview/6812057/page:2/

Статья

Применение криволинейных интегралов в физике

Практическое применение интеграла

Символ интеграла введен в 1675 году. Вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696 года. В изучение интегралов большой вклад внесли ученые-математики и физики. Непосредственно, ни одна формула физики не обходится без интегрального и дифференциального исчисления.

Объект исследование: область математики – интегрирование.

Цели данной работы: расширить область математических знаний; развить логическое мышление; показать, что интеграл непосредственно применяется в различных сферах жизнедеятельности.

Гипотеза: интеграл непосредственно помогает успешно решать математические задачи и задачи практического характера в разных областях науки, техники. Изучение данной темы способствует осознанному качественному усвоению материала, развитию правильного представления об изучаемом понятии, его огромной значимости в различных областях.

Задачи исследования: собрать и систематизировать теоретический материал об интеграле; рассмотреть использование интеграла в различных сферах жизнедеятельности.

За все время становления интегрального исчисления непосредственно менялось и обозначение интеграла.

Английский физик, механик, математик и астроном Исаак Ньютон (1643 – 1727) использовал, в качестве символа интегрирования значок квадрата перед обозначением функции или вокруг него, а также вертикальную черту над функцией, но эти обозначения не получили широкого распространения.

Современное обозначение неопределённого интеграла было введено немецким философом, логиком, математиком, механиком, физиком, юристом, историком, дипломатом, изобретателем и языковедом Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646 – 1716) в 1675 году. Он образовал символ интеграла из буквы “длинная s” (от первой буквы слова Summa – сумма).

Современное обозначение определённого интеграла, с указанием пределов интегрирования, было впервые предложено французским математиком и физиком Жаном Батистом Жозефом Фурье (1768 – 1830) в 1819-20 годах. Сам термин “интеграл” придумал швейцарский математик Якоб Бернулли (1654 – 1705) в 1690 году.

Основной задачей дифференциального исчисления является определение заданной функции по ее производной или дифференциалу. Обратная задача, которая состоит в определении по известным значениям производной, называется интегрированием.

Совокупность всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом от данной функции и обозначается [1].

Если функция интегрируема на отрезке , а функция является первообразной для функции на этом отрезке, то справедлива формула . Данная формула называется формулой Ньтона-Лейбница.

Она позволяет вычислять определенные интегралы без интегральных сумм и предельного перехода в тех случаях, когда известна хотя бы одна первообразная подынтегральной функции.

Формула Ньютона-Лейбница дает возможность вычислить определенный интеграл при помощи неопределенного [2].

Рассмотрим перемещение материальной точки. Пусть точка движется по ост абсцисс и известна скорость движения этой точки. Скорость меняется и задан закон на некотором отрезке . Тогда перемещение будет находиться по формуле .

Задача. Материальная точка движется со скоростью . Вычислить ее перемещение за промежуток времени секунд.

Решение. Искомое решение находим по интегралу .

Зависимость между работой и силой при перемещении материальной точки определяется соотношением .

Задача. Какую работу надо произвести, при перемещении материальной точки от 0 до 2 метров под действием силы .

Решение. Искомая работа равна .

Работа за промежуток времени , если задан закон мощности находится по формуле .

Задача. Вычислить работу за промежуток времени от 1 до 4 секунд, если мощность находится по формуле .

Решение. Искомая работа равна .

Электрический заряд за промежуток времени при известной силе тока вычисляется по формуле .

Задача. Вычислить количество электричества, протекающего по проводнику за промежуток времени от 3 до 4 секунд, если сила тока вычисляется по формуле .

Решение. Искомый заряд равен .

Количество теплоты, если задана теплоемкость, непосредственно, вычисляется по следующей формуле .

Задача. Найти количество теплоты за время от 0 до 2 секунд, если теплоемкость задана формулой .

Решение. Количество теплоты равно .

Математическая зависимость между магнитным потоком и электродвижущей силой задается формулой .

Задача. При вращении рамки в однородном магнитном поле возникает ЭДС индукции, которая, непосредственно, меняется по закону . Время изменяется от 0 до 60 секунд. Найти значение магнитного потока.

Решение. Электромагнитный потом находится следующим образом .

Определенный интеграл применяется для нахождения площади криволинейной трапеции. Пусть – площадь криволинейной трапеции. Криволинейная трапеция – это фигура, ограниченная графиком функции , непрерывной положительной на интервале , осью абсцисс и вертикальными прямыми и (рис. 1). Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле .

Рис. 1

Задача. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями , , , осью абсцисс.

Решение. Данная криволинейная трапеция представлена на рисунке 2.

.

Пусть криволинейная трапеция вращается вокруг оси абсцисс. Полученная фигура называется телом вращения. Объем фигуры вычисляется по формуле .

Задача. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , , .

Решение. Объем указанного тела вращения (рис. 3), находим по формуле

Рис. 3

Применение физических моделей при введении понятия интеграла, рассмотрении его свойств, отработке техники интегрирования и изучении приложений способствует осознанному качественному усвоению материала, развитию правильного представления об изучаемом понятии, его огромной значимости в различных науках, формированию мировоззрения, таких специальных качеств, как умение строить математические модели реальных процессов и явлений, исследовать и изучать их, а, следовательно, способствует развитию мышления, памяти, внимания и речи.

Библиографический список

1. Рябушко А.П. Индивидуальные задания по высшей математике. Часть 2. Комплексные числа. Неопределенные и определенные интегралы. Функции нескольких переменных.

Обыкновенные дифференциальные уравнения [Электронный ресурс]: учебное пособие / Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И.Е. — Электрон. текстовые данные. — М.: Вышэйшая школа, 2014. — 397 c.

— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/35481.html. — ЭБС «IPRbooks»

2. Полькина, Е.А. Сборник заданий по высшей математике с образцами решений (математический анализ) [Электронный ресурс]: учебно-методическое пособие / Е.А. Полькина, Н.С. Стакун. — Электрон. текстовые данные. — М.: Прометей, 2013. — 199 с. — Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=240475.html. — ЭБС «Biblioclub»

Источник: https://infourok.ru/statya-prakticheskoe-primenenie-integrala-3934302.html

Физические приложения криволинейных интегралов

Применение криволинейных интегралов в физике
С помощью криволинейных интегралов вычисляются

  • Масса кривой;
  • Центр масс и моменты инерции кривой;
  • Работа при перемещении тела в силовом поле;
  • Магнитное поле вокруг проводника с током (Закон Ампера);
  • Электромагнитная индукция в замкнутом контуре при изменении магнитного потока (Закон Фарадея).

Рассмотрим эти приложения более подробно с примерами.

Масса кривой

Предположим, что кусок проволоки описывается некоторой пространственной кривой \(C.\) Пусть масса распределена вдоль этой кривой с плотностью \(\rho \left( {x,y,z} \right).\) Тогда общая масса кривой выражается через криволинейный интеграл первого рода \[m = \int\limits_C {\rho \left( {x,y,z} \right)ds} .\] Если кривая \(C\) задана в параметрическом виде с помощью векторной функции \(\mathbf{r}\left( t \right) = \left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right),\) то ее масса описывается формулой \[ m = {\int\limits_\alpha \beta {\rho \left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right)\sqrt {{{\left( {\frac{{dx}}{{dt}}} \right)}2} + {{\left( {\frac{{dy}}{{dt}}} \right)}2} + {{\left( {\frac{{dz}}{{dt}}} \right)}2}} dt} .} \] В случае плоской кривой, заданной в плоскости \(Oxy,\) масса определяется как \[m = \int\limits_C {\rho \left( {x,y} \right)ds}\] или в параметрической форме \[ m = {\int\limits_\alpha \beta {\rho \left( {x\left( t \right),y\left( t \right)} \right)\sqrt {{{\left( {\frac{{dx}}{{dt}}} \right)}2} + {{\left( {\frac{{dy}}{{dt}}} \right)}2}} dt} .} \]

Центр масс и моменты инерции кривой

Пусть снова кусок проволоки описывается некоторой кривой \(C,\) а распределение массы вдоль кривой задано непрерывной функцией плотности \(\rho \left( {x,y,z} \right).\) Тогда координаты центра масс кривой определяются формулами \[\bar x = \frac{{{M_{yz}}}}{m},\;\;\bar y = \frac{{{M_{xz}}}}{m},\;\;\bar z = \frac{{{M_{xy}}}}{m},\] где \[ {{M_{yz}} = \int\limits_C {x\rho \left( {x,y,z} \right)ds} ,}\;\; {{M_{xz}} = \int\limits_C {y\rho \left( {x,y,z} \right)ds} ,}\;\; {{M_{xy}} = \int\limits_C {z\rho \left( {x,y,z} \right)ds} } \] − так называемые моменты первого порядка.

Моменты инерции относительно осей \(Ox, Oy\) и \(Oz\) определяются формулами \[ {{I_x} = \int\limits_C {\left( {{y2} + {z2}} \right)\rho \left( {x,y,z} \right)ds} ,}\;\; {{I_y} = \int\limits_C {\left( {{x2} + {z2}} \right)\rho \left( {x,y,z} \right)ds} ,}\;\; {{I_z} = \int\limits_C {\left( {{x2} + {y2}} \right)\rho \left( {x,y,z} \right)ds} .} \]

Работа поля

Работа при перемещении тела в силовом поле \(\mathbf{F}\) вдоль кривой \(C\) выражается через криволинейный интеграл второго рода \[W = \int\limits_C {\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}} ,\] где \(\mathbf{F}\) − сила, действующая на тело, \(d\mathbf{r}\) − единичный касательный вектор (рисунок \(1\)). Обозначение \({\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}}\) означает скалярное произведение векторов \(\mathbf{F}\) и \(d\mathbf{r}.\) Заметим, что силовое поле \(\mathbf{F}\) не обязательно является причиной движения тела. Тело может двигаться под действием другой силы. В таком случае работа силы \(\mathbf{F}\) иногда может оказаться отрицательной. Если векторное поле задано в координатной форме в виде \[\mathbf{F} = \left( {P\left( {x,y,z} \right),Q\left( {x,y,z} \right),R\left( {x,y,z} \right)} \right),\] то работа поля вычисляется по формуле \[W = \int\limits_C {\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}} = \int\limits_C {Pdx + Qdy + Rdz} .\] В частном случае, когда тело двигается вдоль плоской кривой \(C\) в плоскости \(Oxy,\) справедлива формула \[W = \int\limits_C {\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}} = \int\limits_C {Pdx + Qdy},\] где \(\mathbf{F} = \left( {P\left( {x,y} \right),Q\left( {x,y} \right)} \right).\) Если траектория движения \(C\) определена через параметр \(t\) (\(t\) часто означает время), то формула для вычисления работы принимает вид \[ W = {\int\limits_\alpha \beta {\left[ {P\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right)\frac{{dx}}{{dt}} + Q\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right)\frac{{dy}}{{dt}} + R\left( {x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right)} \right)\frac{{dz}}{{dt}}} \right]dt} ,} \] где \(t\) изменяется в интервале от \(\alpha\) до \(\beta.\)

Если векторное поле \(\mathbf{F}\) потенциально, то работа по перемещению тела из точки \(A\) в точку \(B\) выражается формулой \[W = u\left( B \right) – u\left( A \right),\] где \(u\left( {x,y,z} \right)\) − потенциал поля.

Рис.1Рис.2

Закон Ампера

Криволинейный интеграл от магнитного поля с индукцией \(\mathbf{B}\) вдоль замкнутого контура \(C\) пропорционален полному току, протекающему через область, ограниченную контуром \(C\) (рисунок \(2\)). Это выражается формулой \[\int\limits_C {\mathbf{B} \cdot d\mathbf{r}} = {\mu _0}I,\] где \({\mu _0}\) − магнитная проницаемость ваккуума, равная \(1,26 \times {10{ – 6}}\,\text{Н/м}.\)

Закон Фарадея

Электродвижущая сила \(\varepsilon,\) наведенная в замкнутом контуре \(C,\) равна скорости изменения магнитного потока \(\psi,\) проходящего через данный контур (рисунок \(3\)). \[\varepsilon = \int\limits_C {\mathbf{E} \cdot d\mathbf{r}} = – \frac{{d\psi }}{{dt}}.\]

Рис.3

Источник: http://www.math24.ru/%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5-%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D1%85-%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D0%B2.html

Применение криволинейных интегралов в физике

Применение криволинейных интегралов в физике

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Рассмотримна плоскости или в пространстве кривуюL и функцию f, определенную в каждой точкеэтой кривой. Разобьем кривую на частиΔsi длиной Δsi и выберем на каждой изчастей точку Mi. Составим интегральнуюсумму  .Назовем λ длину наибольшего отрезкакривой.

Определение10.1. Если существует конечный пределинтегральной суммы ,не зависящий ни от способа разбиениякривой на отрезки, ни от выбора точекMi, то он называется криволинейныминтегралом первого рода от функции f покривой L и обозначается

            .                                 (10.1)

Например,если функция f(M) задает плотность в точкеМ, то интеграл (10.1) равен массерассматриваемой кривой.

                     Свойства криволинейногоинтеграла 1-го рода.

  1. Если функция f непрерывна на кривой L, то интеграл существует.

  2. Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления движения по кривой, то есть от того, какую из точек, ограничивающих кривую, считать начальной, а какую – конечной. Если назвать эти точки А и В, то

                                                                                (10.2)

Справедливостьэтих свойств следует из определениякриволинейного интеграла 1-го рода.

             Способ вычислениякриволинейного интеграла 1-го рода.

Выберемна кривой L направление от начальнойточки А и отметим, что положение точкиМ на кривой определяется длиной дугиАМ = s. Тогда кривую L можно задатьпараметрически: x = x(s), y = y(s), z = z(s), гдеФункцияf(x,y,z) становится при этом сложной функциейодной переменной s: f(x(s), y(s), z(s)). Тогдаинтегральная сумма

           ,

где-координата точки Mi, является обычнойинтегральной суммой для определен-ногоинтеграла Следовательно,

             =                                                       (10.3)

Еслиже кривая L задана в параметрическойформе:

     x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t),      t0 ≤ t ≤ T,  

то,применяя в интеграле (10.3) формулу заменыпеременной и учитывая, что дифференциалдуги

получим:

                   (10.4)

Такимобразом, вычисление криволинейногоинтеграла 1-го рода сводится к вычислениюобычного определенного интеграла отфункции переменной t в пределах,соответствующих изменению значенияэтой переменной на рассматриваемойкривой.

Пример.

ВычислитьгдеL: Применяяформулу (10.4), получим:

            Криволинейный интегралвторого рода.

Вновьрассмотрим кривую L, в каждой точкекоторой задана функция f(M), и зададимразбиение кривой на отрезки.

Выберемна каждом отрезке точку Mi и умножимзначе-ние функции в этой точке не надлину i-го отрезка, как в случаекриволинейного инте-грала 1-го рода, ана проекцию этого отрезка, скажем, наось Ох, то есть на разность    xi– xi-1 = Δxi. Составим из полученныхпроизведений интегральную сумму .

Определение10.2. Если существует конечный предел приинтегральнойсуммы ,не зависящий от способа разбиения кривойна отрезки и выбора точек Mi, то отназывается криволинейным интеграломвторого рода от функции f(M) по кривой Lи обозначается

                   .                          (10.5)

Подобнымобразом можно определить и криволинейныеинтегралы 2-го рода вида

Определение10.3. Если вдоль кривой L определены функцииP(M) = P(x, y, z),

Q(M)= Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z) и существуют интегралы

       ,

тои их сумму называют криволинейныминтегралом второго рода (общего вида)и полагают

 .          (10.6)

Замечание.Если считать, что сила действуетна точку, движущуюся по кривой (АВ), торабота этой силы может быть представленакак

                              ,

тоесть криволинейным интегралом 2-го рода.

                    Свойства криволинейногоинтеграла 2-го рода.

  1. Если функции P(M), Q(M), R(M) непрерывны на кривой (АВ), то интеграл (10.6) существует (справедливость этого утверждения следует из определения 10.2).

  1. При изменении направления кривой (то есть перемены местами начальной и конечной ее точек) криволинейный интеграл 2-го рода меняет знак:

                                                                               (10.7)

Действительно,при этом изменяется знак Δxi в интегральнойсумме.

        Способ вычислениякриволинейного интеграла 2-го рода.

Теорема10.1. Пусть кривая L задана параметрическимиуравнениями

                        x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t),    α ≤ t ≤ β ,

гдеφ, ψ, χ – непрерывно дифференцируемыефункции, и на ней задана непрерывнаяфункция f(x, y, z). Тогда интеграл (10.5)существует и имеет место равенство

                       .                          (10.8)

Доказательство.

ЗапишемΔxi = xi – xi-1 = φ(ti) – φ(ti-1) и преобразуемпоследнюю разность по формуле Лагранжа:  φ(ti) – φ(ti-1) = φ΄(τi)Δti, где τi – некотороезначение t, заключенное между ti-1 и ti.Выберем точку Мi так, чтобы ее координатысоответствовали значению параметра,равному τi : Mi(φ(τi), ψ(τi), χ(τi)). Подставивэти значения в формулу (10.5), получим:          

                        .

Справаполучен предел интегральной суммы дляфункции f(φ(t),ψ(t),χ(t))φ΄(t) на отрезке [α,β], равный определенному интегралу отэтой функции:

                        ,

чтои требовалось доказать.

Следствие.Аналогичные соотношения можно получитьдля криволинейных интегра-лов вида ,откуда следует, что

                                           (10.9)

Пример.

Вычислиминтеграл ,где L – отрезок прямой от точки А(1,2,-2)до точки В(0, -1, 0). Запишем уравнение этойпрямой в параметрическом виде:

Следовательно,φ΄(t) = -1, ψ΄(t) = -3, χ΄(t) = 2. Тогда

Источник: https://works.doklad.ru/view/-6pABMRk0DY.html

Приложение криволинейных интегралов к решению задач по физике – международный студенческий научный вестник (электронный научный журнал)

Применение криволинейных интегралов в физике
1 Евдокимова И.С. 1 1 ФГБОУ ВО “Смоленский государственный университет” Умение интегрировать функции связано не только с вычислением интеграла, но и с умением применять соответствующие знания к решению прикладных задач. В данной работе приведены задачи на применение криволинейных интегралов первого и второго рода.

При написании работы важно было разобрать основные виды прикладных задач, показать способы решения задач, дать графическое сопровождение задачи, что позволяет более точно представить объект исследования и быстро найти необходимый путь решения.

При этом графическое сопровождение задачи делает ее не только более видимой для решения, но и более интересной, ведь достаточно часто оказывается трудным найти решение еще и потому, что нет четкого представления о той фигуре, с которой связано условие задачи.

В статье показано, что интегрирование в математическом анализе – не просто обратная операция по отношению к дифференцированию, а метод, позволяющий получить эффективное решение многих задач. Приведенные в статье задачи расширяют круг задач, решаемых с помощью криволинейных интегралов, повышают интерес к изучаемой теме. 1. Берман Г.Н.

Сборник задач по курсу математического анализа/Берман Г.Н.– М.: Наука, 1969. – 440 стр. 2. Бермант А. Ф. Краткий курс математического анализа для втузов: Учебник для вузов./ Бермант А. Ф., Араманович И. Г.– М.: Наука, 1966. – 736 с.
3. Бохан К.А. Курс математического анализа. Т. II./Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В.– М.: издательство «Просвещение», 1966.

4. Будаев В.Д. Математический анализ для студентов-физиков. Часть 2. Дифференциальное и интегральное исчисления и их приложения/ Будаев В.Д., Василенков В.Д. – Смоленск: СГПИ, 1997.
5. Виленкин Н.Я. Задачник по курсу математического анализа. Ч. II.Под ред. Н.Я. Виленкина. Учебн. пособие для студентов заоч. отд-ний физ-мат. Фак. Пединститутов./Виленкин. Н.Я.

, Бохан К.А., Марон И.А.-М.,«Просвещение», 1971. 336 с. Перед загл. Авт. и др.
6. Ильин В.А. Основы математического анализа: в 2-х ч. Часть II: Учеб.: Для вузов. – 5-е изд./ Ильин В.А., Поздняк Э.Г. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 464 с. – (Курс высшей математики и математической физики).
7. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. II: Учебник. – 7-е изд.

/ Фихтенгольц Г.М.- М.:ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 440 с.

Теория криволинейных интегралов представляет собой раздел математического анализа, где происходит обощение методов интегрального исчисления на вычисление интегралов по областям, которые расположены на плоскости или в пространстве.

https://www.youtube.com/watch?v=Wuoc3XSL6A4

Именно с помощью криволинейных интегралов можно высчитать длину кривой, статические моменты, координаты центра тяжести, площади плоских фигур и цилиндрической поверхности, работу переменной силы и многое другое. Поскольку приложения криволинейных интегралов очень обширны, можно сделать вывод о том, что выбранная тема является актуальной [5].

Раздел «Криволинейные интегралы» является одним из основных в курсе математического анализа, порой трудно поддающимся для глубокого усвоения и понимания изучаемого материала.

Рассмотрим ряд задач, имеющих прикладной характер:

1. Вычислить момент инерции относительно аппликаты одного витка однородной винтовой линии (Рис. 1)

Решение: По формулам, получаем

Рис. 1

Решение: Данная задача сводится к вычислению криволинейного интеграла первого рода Используя формулу вычисления момента инерции получим:

где .

2. Вычислить ньютонов потенциал окружности массой в точке плотность в любой точке окружности пропорциональна расстоянию от этой точки до оси [3].

Решение: Воспользуемся полярными координатами (рис. 2):

Рис. 2

Получаем .

Плотность линии в точке Очевидно, что нам надо подсчитать коэффициент . Вычислим массу окружности:

По формуле вычисления потенциала в некоторой точке :

получим:

Произведем замену: .

Если тогда , а если , то . Подставив все наши преобразования в формулу:

3. Вычислить работу векторного поля

вдоль правой части кривой от точки до точки [6].

Решение: Преобразуем уравнение кривой . Данное уравнение задает окружность с радиусом , с центром в точке . Точки и лежат на этой окружности, причем противоположно, на диаметре. Обозначим путь , который обозначает правую дугу окружности, которая соединяет точки и . А путь – отрезок прямой Тогда необходимая нам область – это полукруг радиуса .

Зададим путь : где изменяется от 1 до 3. Получаем:

.

Если – наша область, то формулу нахождения работы можно записать так:

4. Найти индукцию магнитного поля в вакууме на расстоянии

от оси бесконечно длинного проводника с током

Решение: Выведем для начала нашу формулу в общем виде. Рассмотрим круговой контур произвольного радиуса (рис.3) , который расположен перпендикулярно проводнику с током

Рис. 3

Так как магнитное поле направлено по касательной к круговому контуру в любой его точке, то скалярное произведение , равно Воспользуемся формулой криволинейного интеграла:

. В результате получим: или , где относительная магнитная проницаемость среды,

магнитная постоянная. Подставляя данные нашей задачи, получим

5. Рассчитать значение электрического поля и электродвижущей силы , которые возникают в кольце у летчика самолета в магнитном поле Земли, если летчик разгонит самолет до скорости 864 км/ч.

Решение: Рассчитаем для начала значение электрического поля. Образованное электрическое поле имеет постоянную амплитуду в силу симметрии абсолютно в любой точке кольца. Данное электрическое поле направлено к кольцу по касательной в любой его точке. Вычислим криволинейный интеграл:

Очевидно, что для вычисления электродвижущей силы, необходимо найти электрическое поле.

По закону Фарадея Появляется изменение магнитного потока , которое проходит через кольцо, так как проводящее кольцо перемещается в магнитном поле Земли.

Сделаем предположение, что магнитное поле перпендикулярно плоскости кольца. Изменение магнитного потока за равно где скорость самолета. Подставляя в формулу, полученную выше, получаем:

Все формулу найдены, теперь осталось только подсчитать:

6. В деревне Черныши Краснинского района трактористу Анатолию надо вспахать борозду, чтобы засеять ее морковью.

Сложность работы Анатолия заключается в том, что борозда неровная и через равные участки длиной 5 м ему попадаются сильные насыпи одинакового размера в форме циклоиды, высотой 65 см, причем их 8 штук.

За сколько примерно времени тракторист вспашет борозду, если скорость его рабочей машины 7,2 ?

Решение: Для решения данной задачи необходимо найти длину нашей борозды (рис. 4). Найдем длину нашей борозды, но для начала найдем длину одной насыпи.

Рис. 4

Зададим нашу линию параметрически:

,где Будем использовать формулу

Вычислим производные:

Высота нашей насыпи 0,65 м, значит поэтому длина нашей насыпи м.

Так как всего наших насыпей 8 штук, то значит длина всех неровностей 20,8м.

Но наша борозда состоит и из ровных участков, длиной 5м (рис. 5), их 9 штук:

Рис.5

Подсчитаем общую длину борозды:

Переведем

Осталось подсчитать время

В статье показано, что интегрирование в математическом анализе – не просто обратная операция по отношению к дифференцированию, а метод, позволяющий получить эффективное решение многих задач. Приведенные в статье задачи расширяют круг задач, решаемых с помощью криволинейных интегралов, повышают интерес к изучаемой теме.

Библиографическая ссылка

Евдокимова И.С. ПРИЛОЖЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ // Международный студенческий научный вестник. – 2017. – № 6.;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=17894 (дата обращения: 19.02.2020).

Источник: https://eduherald.ru/ru/article/view?id=17894

применение интеграла – математика_11,2012

Применение криволинейных интегралов в физике
Мощным средствомисследования в математике, физике, механике идругих дисциплинах является определенныйинтеграл – одно из основных понятийматематического анализа. Геометрический смыслинтеграла – площадь криволинейной трапеции.

Физический смысл интеграла – 1) массанеоднородного стержня с плотностью, 2)перемещение точки, движущейся по прямой соскоростью за промежуток времени.Напомню свойства интеграла:Как вычислять площадь криволинейной трапеции мы уже тренировались. Вычисление объемов тел хорошо разобрано в учебнике на стр.194 и 195. А вот физическое приложение интегралов покажу подробнее.

Путь, пройденный точкой при неравномерномдвижении по прямой с переменной скоростью запромежуток времени от до вычисляется по формуле .

Примеры:

1. Скорость движения точки м/с. Найти путь, пройденныйточкой за 4-ю секунду.

Решение: согласно условию, . Следовательно,

2. Два тела начали двигаться одновременно изодной точки в одном направлении по прямой. Первоетело движется со скоростью м/с, второе — со скоростью v =(4t+5) м/с. На каком расстоянии друг от друга ониокажутся через 5 с?

Решение: очевидно, что искомая величина естьразность расстояний, пройденных первым и вторымтелом за 5 с:

3. Тело брошено с поверхности земли вертикальновверх со скоростью и = (39,2—9,8) м/с. Найтинаибольшую высоту подъема тела.

Решение: тело достигнет наибольшей высотыподъема в такой момент времени t, когда v = 0, т.е. 39,29,8t= 0, откуда I = 4 с. По формуле (1) на ходим

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ СИЛЫ

Работа, произведенная переменной силой f(х) приперемещении по оси Ох материальной точки от х= а до х=b, находится по формуле При решениизадач на вычисление работы силы частоиспользуется закон Г у к а: F=kx, (3) где F—сила Н; х—абсолютное удлинение пружины, м,вызванное силой F, а k —коэффициентпропорциональности, Н/м.

Пример:

1. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м. Какуюработу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22до 0,32 м?

Решение: используя равенство (3), имеем 50=0,01k, т. е.kК = 5000 Н/м. Находим пределы интегрирования: а = 0,22 0,2 = 0,02 (м), b=0,320,2 = 0,12(м). Теперь по формуле (2)получим

3. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ, ПРОИЗВОДИМОЙ ПРИ ПОДНЯТИИГРУЗА

Задача. Цилиндрическая цистерна срадиусом основания 0,5 м и высотой 2 м заполненаводой. Вычислить работу, которую необходимопроизвести, чтобы выкачать воду из цистерны.

Решение: выделим на глубине хгоризонтальный слой высотой dх (рис.).Работа А, которую надо произвести, чтобы поднятьслой воды весом Р на высоту х, равна Рх.

Изменение глубины х на малую величинуdх вызовет изменение объема V на величину dV = пr2dх и изменение веса Р на величину * dР = 9807 r2dх; при этом совершаемая работа А изменится навеличину dА=9807пr2 хdх. Проинтегрировав эторавенство при изменении x от 0 до Н, получим

4. ВЫЧИСЛЕНИЕ СИЛЫ ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ

Значение силы Р давления жидкостина горизонтальную площадку зависит от глубиныпогружения х этой площадки, т. е. отрасстояния площадки до поверхности жидкости.

Сила давления (Н) на горизонтальнуюплощадку вычисляется по формуле Р =9807 S x,

где —плотность жидкости, кг/м3; S — площадьплощадки, м2; х – глубина погруженияплощадки, м.

Если площадка, испытывающая давлениежидкости, не горизонтальна, то давление на нееразлично на разных глубинах, следовательно, силадавления на площадку есть функция глубины еепогружения Р (х).

5. ДЛИНА ДУГИ

Пусть плоская кривая АВ (рис. ) задана уравнением у =f(x) (a x b), причем f(x) и f ?(x)— непрерывные функции в промежутке [а,b]. Тогдадифференциал dl длины дуги АВ выражаетсяформулойили , адлина дуги АВ вычисляется по формуле (4)

где а и b—значения независимойпеременной х в точках А и В. Если криваязадана уравнением х = (у)(с у d), то длина дуги АВ вычисляется поформуле (5) где си д значения независимой переменной у вточках А и В.

6. ЦЕНТР МАСС

При нахождении центра масс пользуютсяследующими правилами:

1) Координата х? центра масс системыматериальных точек А1, А2 ,…, Аn смассами m1, m2, …, mn,расположенных на прямой в точках с координатамих1, х2, …, хn, находятся поформуле

(*);2) При вычислении координаты центра масс можнолюбую часть фигуры заменить на материальнуюточку, поместив ее в центр масс этой части, иприписать ей массу, равную массе рассматриваемойчасти фигуры.

Пример. Пусть вдоль стержня-отрезка[а;b] оси Ох – распределена масса плотностью (х), где (х) -непрерывная функция. Покажем, чтоа)суммарная масса М стержня равна ; б) координата центрамасс х' равна .

Разобьем отрезок [а; b] на n равныхчастей точками а= х0 < х1 < х2

Источник: https://www.sites.google.com/site/matematika112012/home/primenenie-integrala

Vse-referaty
Добавить комментарий