Статика твердого тела

Статика твердого тела

Статика твердого тела

Предмет статики. Основные понятия статики: абсолютно твердое тело, сила, эквивалентная система сил, равнодействующая, уравновешенная система сил, силы внешние и внутренние. Аксиомы статики. Связи и реакции связей. Основные виды связей и их реакции: гладкая плоскость (поверхность и опора), гибкая нить, цилиндрический шарнир (подшипник), сферический шарнир (под-

пятник), невесомый (идеальный) стержень.

Система сходящихся сил. Геометрический и аналитический способы сложения сил. Сходящиеся силы, равнодействующая, геометрическое условие их равновесия. Аналитические условия равновесия для пространственной и плоской систем сходящихся сил. Теорема о равновесии трех непараллельных сил.

Теория пар сил. Момент силы относительно точки (центра) как вектор. Алгебраическое значение момента силы относительно точки. Момент пары сил как вектор и его алгебраическое значение. Теоремы об эквивалентности пар. Сложение пар сил в плоскости и произвольно расположенных в пространстве. Условия равновесия системы пар.

Плоская система сил. Теорема о параллельном переносе силы. Основная теорема статики о приведении плоской системы сил к данному центру. Главный вектор и главный момент системы сил и их расчет. Частные случаи приведения: приведение систем сил к паре сил, к равнодействующей.

Аналитические условия равновесия для плоской системы сил: а) равенство нулю сумм проекций сил на две координатные оси и суммы их моментов относительно любого центра; б) равенство нулю сумм моментов сил относительно двух центров и суммы их проекций на одну ось; в) равенство нулю сумм моментов сил относительно трех центров.

Условия равновесия системы параллельных сил. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей.

Сосредоточенные и распределенные силы. Силы, распределенные по отрезку прямой, и их равнодействующая. Реакция жесткой заделки. Равновесие системы тел.

Статически определимые и неопределимые системы. Равновесие при наличии сил трения. Коэффициент трения. Предельная сила трения. Угол и конус трения. Условие самоторможения.

Трение качения, коэффициент трения качения и момент трения качения.

Пространственная система сил. Момент силы относительно оси и его расчет. Зависимость между моментом силы относительно центра и относительно оси, проходящей через этот центр.

Аналитические формулы для вычисления моментов силы относительно координатных осей. Приведение пространственной системы сил к данному центру. Вычисление главного вектора и главного момента для пространственной системы сил.

Аналитические условия равновесия произвольной пространственной системы сил.

Центр тяжести. Центр параллельных сил. Формулы для определения координат центра параллельных сил. Способы и формулы для определения положения (координат) центра тяжести объема, площади и линии его. Центры тяжести дуги окружности, треугольника и кругового сектора.

Кинематика

Кинематика точки. Предмет и задачи кинематики. Пространство и время в классической механике. Относительность механического движения.

Системы отсчета.Векторный способ задания движения точки. Траектория точки. Скорость точки как производная ее радиуса-вектора по времени. Ускорение точки как производная от ее вектора скорости по времени.

Координатный способ задания движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Определение траектории точки. Определение скорости и ускорения точки по их проекциям на координатные оси.

Естественный способ задания движения точки. Естественный трехгранник и его оси. Алгебраическая величина скорости точки. Определение ускорения точки по его проекциям на оси естественного трехгранника; касательное и нормальное ускорения точки. Выражение касательного ускорения точки через проекции скорости и ускорения на координатные оси.

Поступательное движение твердого тела. Определение поступательного движения твердого тела. Теорема о траекториях, скоростях и ускорениях точек твердого тела при поступательном движении.

Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси. Определение вращательного движения тела вокруг неподвижной оси. Уравнение (закон) вращательного движения твердого тела. Угловая скорость и ускорение твердого тела.

Законы равномерного и равнопеременного вращения. Скорость и ускорение точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Векторы угловой скорости и ускорения тела.

Выражение скорости точки вращающегося тела и ее касательного и нормального ускорений в виде векторных произведений.

Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела. Плоское движение твердого тела и движение плоской фигуры в его плоскости. Разложение движения плоской фигуры на поступательное вместе с полюсом и вращательное вокруг полюса.

Независимость угловой скорости и ускорения от выбора полюса. Теорема о скоростях точек и их проекциях для плоской фигуры. Мгновенный центр скоростей (МЦС) и доказательство его существования. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью МЦС.

Теорема об ускорениях точек тела при плоском движении. Мгновенный центр ускорений (МЦУ).

Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной точки (сферическое движение). Углы Эйлера. Уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Мгновенная ось вращения тела. Определение скорости и ускорения любой точки тела при его сферическом движении.

Свободное движение твердого тела. Уравнения движения для свободного твердого тела. Разложение свободного движения на поступательное движение вместе с полюсом и вращение вокруг полюса. Определение скоростей и ускорений точек свободного твердого тела.

Составное (сложное) движение точки. Переносное, относительное и абсолютное движения точки. Теорема Кориолиса о сложении скоростей и ускорений. Модуль и направление кориолисова ускорения (правило Н. Е. Жуковского). Случаи равенства нулю ускорения Кориолиса.

Составное движение твердого тела. Сложение поступательных движений. Сложение вращательных движений твердого тела вокруг параллельных и пересекающихся осей. Пара мгновенных вращений. Кинематический винт. Мгновенная винтовая ось.

Динамика

Основные законы динамики. Прямая и обратная задачи динамики. Уравнения движения механической системы. Закон изменения и сохранения импульса. Момент импульса, его изменение и сохранение. Кинетическая энергия, работа. Теорема об изменении кинетической энергии. Динамика поступательного и вращательного движения твердого тела и плоского движения. Теория удара

а

а.

Статика

Основные положения

Статикой называется раздел теоретической механики, в котором изучаются операции с силами и состояние равновесия тел под действием на них сил не только в состоянии покоя, но и при движение их по инерции. В основе статики лежат экспериментально установленные аксиомы (законы).

1. Аксиома инерции. Под действием взаимно уравновешивающихся сил материальная точка (тело) находится в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно.

2. Аксиома равновесия двух сил. Две силы, приложенные к абсолютно твердому телу, будут уравновешены тогда и только тогда, когда они равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны.

3. Аксиома присоединения и исключения уравновешивающихся сил. Действие системы сил на абс. твердое тело не изменится, если к ней прибавить или отнять уравновешенную систему сил. Следствие: Действие силы на абс.тв. тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль ее линии действия.

4. Аксиома параллелограмма сил. Равнодействующая двух пересекающихся сил приложена в точке их пересечения и изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих силах.

5. Аксиома равенства действия и противодействия (3-й закон Ньютона). Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

6. Принцип отвердевания. Равновесие сил, приложенных к нетвердому телу, не нарушается при его затвердевании.

Равновесие свободных тел может быть нарушено при действии на них сил. Тела или системы тел считаются несвободными, если их перемещению препятствуют другие тела (связи), скрепленные или соприкасающиеся с ними. Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя его перемещению, называется силой реакции связи или просто реакцией связи.

Значения реакций связей определяются в процессе решения соответствующей задачи механики. Реакция связи направлена в сторону, противоположную той, куда она не дает перемеща-ться телу. На рис.1.1.

представлены наиболее часто встречающиеся типы связей и их направления: в случае гладкой плоскости (поверхности) или опоры, для которых реакция направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания и приложена в этой точке. Связь, осуществленная в виде гибкой нерастяжимой нити (каната, цепи, ремня и пр.

), не дает телу М удаляться от точки ее подвеса А по направлению АМ (рис. 1.1 г). Поэтому реакция натянутой нити направлена вдоль нее от тела к точке подвеса.

Цилиндрическим шарниром или подшипником (шарнирно-неподвижной опорой) называется совокупность неподвижной обоймы (втулки) 1 и помещенного в нее валика (пальца) 2, жестко соединенного с телом 3 (рис.1. 2а). В точке С соприкосновения втулки с валиком возникает сила опорной реакции, прохо-

Рис. 1.1. Примеры наиболее часто встречающихся типов связей: в случае гладкой плоскости (а, б), опоры (в), гибкой нерастяжимой нити (г).

дящая через геометрический центр А валика и направленная по нормали к идеально гладким поверхностям.

Так как положение точки С соприкосновения валика со втулкой заранее не известно, то невозможно сразу указать направление силы реакции , но можно утверждать, что линия действия реакции всегда пройдет через центр А шарнира. На расчетных схемах для шарнирно-неподвижной опоры (рис. 1.

2б) при решении задач неизвестную по модулю и направлению реакцию представляют в виде двух ее взаимно перпендикулярных составляющих и . После определения их значений находят значение реакции и ее направление по формулам: , .

а)б)
Рис. 1.2. – Цилиндрический шарнир/подшипник (шарнирно-неподвижная опора) (а) и ее расчетная схема (б).

Реакция связи шарнирно-подвижной опоры (опоры на катках) проходит

через ее центр (рис. 1.3а и б) и перпендикулярно к опорной плоскости. Сферическим шарниром называется устройство, выполненное в виде двух контактирующих сфер, геометрический центр А которых неподвижен (рис. 1.3в).

Тело 3 в равновесии жестко связано с внутренней подвижной сферой 1. Для гладкой сферической поверхности реакция направлена по нормали к этим поверхностям и проходит через центр А сферы.

На расчетных схемах реакцию представляют в виде трех ее взаимно перпендикулярных составляющих , и , направленных вдоль координатных осей.

а)б)в)
Рис. 1.3 Шарнирно-подвижная опора (а), опора на катках (б), сферический шарнир (в).

Подпятник представляет собой соединение цилиндрического шарнира 2 и опорной плоскости 3, на которую опирается вал 1(рис. 1.4а). Реакция подшипника, лежащая в плоскости перпендикулярной оси вала, представляется двумя ее взаимно перпендикулярными составляющими и , а реакция опорной плоскости – реакцией , направленной по нормали к этой плоскости.

Реакция прямолинейного невесомого (идеального) стержня направлена вдоль него (рис. 1.4 б). Если связью является криволинейный стержень, то реакция направлена вдоль прямой АВ, соединяющей концевые шарниры А и В (рис. 1.4 в).

а)б)в)
Рис. 1.4. Подпятник (а), невесомые прямолинейный (б) и криволинейный (в) стержни.

Жесткая заделка (неподвижное защемление) конца балки не допускает не только линейных перемещений балки 1 вдоль координатных осей, но и вращения балки в плоскости хАу (рис. 1.5).

Нахождение реакций жесткой заделки сводится к определению трех неизвестных величин: составляющих и реакции и так называемого реактивного момента МА, препятствующего вращению балки в плоскости хАу вокруг точки А.

Рис. 1.5. Жесткая заделка (неподвижное защемление).

Для составления уравнений равновесия в статике необходимо уметь вычислять проекции сил на координатные оси и выполнять операции сложения и разложения сил. Проекцией силы на ось называется алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси. Так, для сил, изображенных на рис. 1.6а и б:

Fx =a1b1=Fcos a;

Fу = a2b2= Fcos (90°- a) =F sin a;

Qx= c1d1=Qcosb=Q cos (180°+ g) = – Q cosg;

Qу = c2d2= Qcos (90°+g) = – Qsin g.

Проекцией силы на плоскость Оху называется вектор = , заключенный между проекциями начала и конца силы на эту плоскость (рис. 1.6в). По модулю Fху = F cos q, где q – угол между направлением силы и ее проекцией .

В некоторых случаях для нахождения проекции силы на ось удобнее сначала найти ее проекцию на плоскость, в которой расположена эта ось, а затем полученный вектор спроецировать на данную ось. Например, на рис. 1.

6в Fх =ОВ2= Fху cos j = Fcos q × cosj,

Fу = ОВ3 = Fху sin j = F cos q ×sin j.

а)б)в)
Рис. 1.6. Проекции сил на оси координат (а и б) и плоскость (в).

Геометрический метод сложения сил , , …, основан на построении в масштабе векторного (силового) многоугольника, замыкающая сторона которого представляет эту сумму и называется главным вектором : (рис. 1.7а).

а) б)

Рис. 1.7. Геометрический метод сложения сил (а). Определение момента силы относительно точки О на плоскости (б).

Аналитический метод сложения сил основан на известной теореме векторной алгебры: проекция вектора суммы на ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось:

Модуль (численное

значение) главного вектора равен

Действие силы на твердое тело может вызвать вращательный эффект, который для плоской системы сил можно оценить с помощью момента силы относительно какой-либо точки О на плоскости: ; (рис. 7б), где h1 и h2 – плечи сил и относительно точки О.

Плечом называется длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия соответствующей силы. Если данная сила стремится вращать тело вокруг точки О против хода часовой стрелки, то ее моменту относительно этой точки приписывают знак “+”.

Момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия силы проходит через эту точку, так как при этом плечо равно нулю (например, ).

Вычисление момента силы относительно какой-либо точки во многих случаях упрощается, если эту силу разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие и применить теорему Вариньона, согласно которой момент равнодействующей сходящихся сил относительно любого центра равен сумме моментов составляющих сил относительно того же центра. Например, для равнодействующей силы и ее составляющих и (рис. 1.8а) имеем: , где Таким образом,

Вращательный эффект вызывает также пара сил – совокупность двух сил, равных по модулю, направленных в противоположные стороны и линии действия которых параллельны (рис. 1.8б).

Пара сил, стремящаяся вращать тело против хода часовой стрелки, считается положительной, а по ходу часовой стрелки – отрицательной.

Пара сил характеризуется ее моментом m, который равен взятому со знаком “плюс” или “минус” произведению модуля одной из сил данной

пары на плечо пары, т. е. на кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары (d ). Моменты сил на рис. 1.8б равны: m1 = Fd1; m2 = –Fd2. Систему пар сил, расположенных в одной плоскости, можно заменить одной эквивалентной парой, момент которой М равен алгебраической сумме моментов пар:

М = m1 + m2 + … + mn = (k = 1, 2, …, n).

а)   б)
Рис. 1.8. Иллюстрация теоремы Вариньона (а). Пара сил (б).

Предыдущая1234567891011Следующая

Дата добавления: 2015-12-08; просмотров: 1185; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

ПОСМОТРЕТЬ ЁЩЕ:

Источник: https://helpiks.org/6-13817.html

Тема № 1. СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Статика твердого тела

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ СТАТИКИ

Предмет статики.Статикой называется раздел механики, в котором изучаются законы сложения сил и условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил.

Под равновесием мы будем понимать состояние покоя тела по отношению к другим материальным телам. Если тело, по отношению к которому изучается равновесие, можно считать неподвижным, то равновесие условно называют абсолютным, а в противном случае -относительным.

В статике мы будем изучать только так называемое абсолютное равновесие тел. Практически при инженерных расчетах абсолютным можно считать равновесие по отношению к Земле или к телам, жестко связанным с Землей.

Справедливость этого утверждения будет обоснована в динамике, где понятие об абсолютном равновесии можно определить более строго. Там же будет рассмотрен и вопрос об относительном равновесии тел.

Условия равновесия тела существенно зависят от того, является ли это тело твердым, жидким или газообразным. Равновесие жидких и газообразных тел изучается в курсах гидростатики и аэростатики. В общем курсе механики рассматриваются обычно только задачи о равновесии твердых тел.

Все встречающиеся в природе твердые тела под влиянием внешних воздействий в той или иной мере изменяют свою форму (деформируются). Величины этих деформаций зависят от материала тел, их геометрической формы и размеров и от действующих нагрузок.

Для обеспечения прочности различных инженерных сооружений и конструкций материал и размеры их частей подбирают так, чтобы деформации при действующих нагрузках были достаточно малы.

Вследствие этого при изучении общих условий равновесия вполне допустимо пренебрегать малыми деформациями соответствующих твердых тел и рассматривать их как недеформируемые или абсолютно твердые.

Абсолютно твердым телом называется такое тело, расстояние между двумя любыми точками которого всегда остается постоянным.

Чтобы твердое тело под действием некоторой системы сил находилось в равновесии (в покое), необходимо чтобы эти силы удовлетворяли определенным условиям равновесия данной системы сил. Нахождение этих условий является одной из основных задач статики.

Но для отыскания условий равновесия различных систем сил, а также для решения ряда других задач механики, оказывается необходимым уметь складывать силы, действующие на твердое тело, заменять действие одной системы сил другой системой и, в частности, приводить данную систему сил к простейшему виду.

Поэтому в статике твердого тела рассматриваются следующие две основные задачи:

1) сложение сил и приведение систем сил, действующих на твердое тело, к простейшему виду;

2) определение условий равновесия действующих на твердое тело систем сил.

Сила.Состояние равновесия или движения данного тела зависит от характера его механических взаимодействий с другими телами, т.е. от тех давлений, притяжений или отталкиваний, которые данное тело испытывает в результате этих взаимодействий. Величина, являющаяся количественной мерой механического взаимодействия материальных тел, называется в механике силой.

Рассматриваемые в механике величины, можно разделить на скалярные, т.е. такие, которые полностью характеризуются их численным значением, и векторные, т.е. такие, которые, помимо численного значения, характеризуются еще и направлением в пространстве.

Сила является величиной векторной. Ее действие на тело определяется: 1) численной величиной или модулем силы, 2) направлением силы, 3) точкой приложения силы.

Направление и точка приложения силы зависят от характера взаимодействия тел и их взаимного положения. Например, сила тяжести, действующая на какое-нибудь тело, направлена по вертикали вниз. Силы давления двух прижатых друг к другу гладких шаров направлены по нормали к поверхностям шаров в точках их касания и приложены в этих точках и т. д.

Графически сила изображается направленным отрезком (со стрелкой). Длина этого отрезка (АВ на рис. 1) выражает в выбранном масштабе модуль силы, направление отрезка соответствует направлению силы, его начало (точка А на рис. 1) обычно совпадает с точкой приложения силы.

Иногда бывает удобно изображать силу так, что точкой приложения является ее конец – острие стрелки (как на рис. 4в). Прямая DE, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы. Силу обозначают буквой F. Модуль силы обозначается вертикальными черточками «по бокам» вектора.

Системой сил называется совокупность сил, действующих на какое-нибудь абсолютно твердое тело.

Рис. 1.

Основные определения:

1. Тело, не скрепленное с другими телами, которому из данного положения можно сообщить любое перемещение в пространстве, называется свободным.

2. Если свободное твердое тело под действием данной системы сил может находиться в покое, то такая система сил называется уравновешенной.

3. Если одну систему сил, действующих на свободное твердое тело, можно заменить другой системой, не изменяя при этом состояния покоя или движения, в котором находится тело, то такие две системы сил называются эквивалентными.

4. Если данная система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил. Таким образом, равнодействующая – это сила, которая одна может заменить действие данной системы, сил на твердое тело.

Сила, равная равнодействующей по модулю, прямо противоположная ей по направлению и действующая вдоль той же прямой, называется уравновешивающей силой.

5. Силы, действующие на твердое тело, можно разделить на внешние и внутренние. Внешними называются силы, действующие на частицы данного тела со стороны других материальных тел. Внутренними называются силы, с которыми частицы данного тела действуют друг на друга.

6. Сила, приложенная к телу в какой-нибудь одной его точке, называется сосредоточенной. Силы, действующие на все точки данного объема или данной части поверхности тела, называются распределенными.

Понятие о сосредоточенной силе является условным, так как практически приложить силу к телу в одной точке нельзя. Силы, которые мы в механике рассматриваем как сосредоточенные, представляют собою по существу равнодействующие некоторых систем распределенных сил.

В частности, обычно рассматриваемая в механике сила тяжести, действующая на данное твердое тело, представляет собою равнодействующую сил тяжестей его частиц. Линия действия этой равнодействующей проходит через точку, называемую центром тяжести тела.

Рис. 2

Аксиомы статики. Все теоремы и уравнения статики выводятся из нескольких исходных положений, принимаемых без математических доказательств и называемых аксиомами или принципами статики.

Аксиомы статики представляют собою результат обобщений многочисленных опытов и наблюдений над равновесием и движением тел, неоднократно подтвержден­ных практикой.

Часть из этих аксиом является следствиями основных законов механики.

Аксиома 1.Если на свободное абсолютно твердое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю (F1=F2 )и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. 2).

Аксиома 1 определяет простейшую уравновешенную систему сил, так как опыт показывает, что свободное тело, на которое действует только одна сила, находиться в равновесии не может.

Аксиома 2.Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил.

Эта аксиома устанавливает, что две системы сил, отличающиеся на уравновешенную систему, эквивалентны друг другу.

Следствие из 1-й и 2-й аксиом. Точку приложения силы, действующей на абсолютно твердое тело, можно переносить вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.

В самом деле, пусть на твердое тело действует приложенная в точке А сила F (рис. 3). Возьмем на линии действия этой силы произвольную точку В и приложим к ней две уравновешенные силы F1 и F2 ,такие, что Fl = F, F2 = – F.

От этого действие силы F на тело не изменится. Но силы F и F2 согласно аксиоме 1 также образуют уравновешенную систему, которая может быть отброшена.

В результате на тело будет действовать только одна сила Fl равная F, но приложенная в точке В.

Таким образом, вектор, изображающий силу F, можно считать приложенным в любой точке на линии действия силы (такой вектор называется скользящим).

Полученный результат справедлив только для сил, действующих на абсолютно твердое тело. При инженерных расчетах этим результатом можно пользоваться лишь тогда, когда исследуется внешнее действие сил на данную конструкцию, т.е. когда определяются общие условия равновесия конструкции.

Например, изображенный на (рис.4а) стержень АВ будет находиться в равновесии, если F1 = F2. При переносе обеих сил в какую-нибудь точку С стержня (рис. 4, б), или при переносе силы F1 в точку В, а силы F2 в точку А (рис.

4, в), равновесие не нарушается. Однако внутреннее действие этих сил в каждом из рассмотренных случаев будет разным.

В первом случае стержень под действием приложенных сил растягивается, во втором случае он не напряжен, а в третьем случае стержень будет сжиматься.

Аксиома 3 (аксиома параллелограмма сил).Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на этих силах. Вектор К, равный диагонали параллело­грамма, построенного на векторах F1 и F2 (рис. 5), называется геометрической суммой векторов F1 и F2:

Следовательно, аксиому 3 можно еще формулировать так: равнодействующая двух сил, приложенных к телу в одной точке, равна геометрической (векторной) сумме этих сил и приложена в той же точке.

Аксиома 4.Два материальных тела всегда действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль одной прямой в противоположные стороны (кратко: действие равно противодействию).

Закон о равенстве действия и противодействия является одним из основных законов механики. Из него следует, что если тело А действует на тело В с силой F, то одновременно тело В действует на тело А с силой F =F (рис. 6). Однако силы F и F' не образуют уравновешенной системы сил, так как они приложены к разным телам.

Свойство внутренних сил. По аксиоме 4 любые две частицы твердого тела будут действовать друг на друга с равными по модулю и противоположно направленными силами.

Так как при изучении общих условий равновесия тело можно рассматривать как абсолютно твердое, то (по аксиоме 1) все внутренние силы образуют при этом условии уравновешенную систему, которую (по аксиоме 2) можно отбросить.

Следовательно, при изучении общих условий равновесия необходимо учитывать только внешние силы, действующие на данное твердое тело или данную конструкцию.

Аксиома 5 (принцип отвердевания).Если любое изменяемое (деформируемое) тело под действием данной системы сил находится в равновесии, то равновесие сохранится и тогда, когда тело отвердеет (станет абсолютно твердым).

Высказанное в этой аксиоме утверждение очевидно. Например, ясно, что равновесие цепи не должно нарушиться, если ее звенья сварить друг с другом; равновесие гибкой нити не нарушится, если она превратится в изогнутый жесткий стержень и т.д.

Так как на покоящееся тело до и после отвердевания действует одна и та же система сил, то аксиому 5 можно еще выразить в другой форме: при равновесии силы, действующие на любое изменяемое (деформируемое) тело, удовлетворяют тем же условиям, что и для тела абсолютно твердого; однако для изменяемого тела эти условия, будучи необходимыми, могут не быть достаточными. Например, для равновесия гибкой нити под действием двух сил, приложенных к ее концам, необходимы те же условия, что и для жесткого стержня (силы должны быть равны по модулю и направлены вдоль нити в разные стороны). Но эти условия не будут достаточными. Для равновесия нити требуется еще, чтобы приложенные силы были растягивающими, т.е. направленными так, как на рис. 4а.

Принцип отвердевания широко используется в инженерных расчетах. Он позволяет при составлении условий равновесия рассматривать любое изменяемое тело (ремень, трос, цепь и т. п.

) или любую изменяемую конструкцию как абсолютно жесткие и применять к ним методы статики твердого тела.

Если полученных таким путем уравнений для решения задачи оказывается недостаточно, то дополнительно составляют уравнения, учитывающие или условия равновесия отдельных частей конструкции, или их деформации.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/9_218597_tema---statika-tverdogo-tela.html

Статика – раздел теоретической механики

Статика твердого тела

Изложены основные понятия статики – раздела теоретической механики. Рассмотрены законы равновесия точки и тела. Представлены свойства моментов сил относительно точки и оси. Рассмотрена сила тяжести и сила распределенной нагрузки.

Статика – это раздел теоретической механики, в котором изучаются условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил, а также методы преобразования сил в эквивалентные системы.

Под состоянием равновесия, в статике, понимается состояние, при котором все части механической системы покоятся относительно некоторой инерциальной системы координат. Одним из базовых объектов статики являются силы и точки их приложения.

Сила , действующая на материальную точку с радиус-вектором со стороны других точек – это мера воздействия других точек на рассматриваемую точку, в результате которой она получает ускорение относительно инерциальной системы отсчета. Величина силы определяется по формуле:
,
где m – масса точки – величина, зависящая от свойств самой точки. Эта формула называется вторым законом Ньютона.

Применение статики в динамике

Важной особенностью уравнений движения абсолютно твердого тела является то, что силы можно преобразовывать в эквивалентные системы.

При таком преобразовании уравнения движения сохраняют свой вид, но систему сил, действующую на тело можно преобразовать в более простую систему.

Так, точку приложения силы можно перемещать вдоль линии ее действия; силы можно раскладывать по правилу параллелограмма; силы, приложенные в одной точке можно заменять их геометрической суммой.

Примером таких преобразований является сила тяжести. Она действует на все точки твердого тела. Но закон движения тела не изменится, если распределенную по всем точкам силу тяжести заменить одним вектором, приложенным в центре масс тела.

Оказывается, что если мы к основной системе сил, действующих на тело, добавим эквивалентную систему, в которой направления сил изменены на противоположные, то тело, под действием этих систем, будет находиться в равновесии. Таким образом, задача по определению эквивалентных систем сил сводится к задаче на равновесие, то есть к задаче статики.

Основной задачей статики является установление законов преобразования системы сил в эквивалентные системы. Таким образом, методы статики применяются не только при изучении тел, находящихся в равновесии, но и в динамике твердого тела, при преобразовании сил в более простые эквивалентные системы.

Статика материальной точки

Рассмотрим материальную точку, которая находится в равновесии. И пусть на нее действуют n сил  ,  k = 1, 2, …, n.

Если материальная точка находится в равновесии, то векторная сумма действующих на нее сил равна нулю:
(1)   .

В равновесии геометрическая сумма сил, действующих на точку, равна нулю.

Геометрическая интерпретация.

Если в конец первого вектора поместить начало второго вектора , а в конец второго вектора поместить начало третьего , и далее продолжать этот процесс, то конец последнего, n-го вектора окажется совмещенным с началом первого вектора. То есть мы получим замкнутую геометрическую фигуру, длины сторон которой равны модулям векторов . Если все векторы лежат в одной плоскости, то мы получим замкнутый многоугольник.

Часто бывает удобным выбрать прямоугольную систему координат Oxyz. Тогда суммы проекций всех векторов сил на оси координат равны нулю:

Если выбрать любое направление, задаваемое некоторым вектором , то сумма проекций векторов сил на это направление равна нулю:
.
Умножим уравнение (1) скалярно на вектор :
.
Здесь – скалярное произведение векторов  и  .
Заметим, что проекция вектора на направление вектора определяется по формуле:
.

Момент силы относительно точки

Определение момента силы

Моментом силы , приложенной к телу в точке A, относительно неподвижного центра O, называется вектор , равный векторному произведению векторов и :
(2)   .

Геометрическая интерпретация

Момент силы равен произведению силы F на плечо OH.

Пусть векторы  и  расположены в плоскости рисунка. Согласно свойству векторного произведения, вектор перпендикулярен векторам  и  , то есть перпендикулярен плоскости рисунка. Его направление определяется правилом правого винта. На рисунке вектор момента направлен на нас. Абсолютное значение момента:
.
Поскольку  , то
(3)   .

Используя геометрию, можно дать другую интерпретацию момента силы. Для этого проведем прямую AH через вектор силы  . Из цента O опустим перпендикуляр OH на эту прямую. Длину этого перпендикуляра называют плечом силы. Тогда
(4)   .
Поскольку , то формулы (3) и (4) эквивалентны.

Таким образом, абсолютное значение момента силы относительно центра O равно произведению силы на плечо этой силы относительно выбранного центра O.

При вычислении момента часто бывает удобным разложить силу на две составляющие:
,
где . Сила проходит через точку O. Поэтому ее момент равен нулю. Тогда
. Абсолютное значение момента:

.

Компоненты момента в прямоугольной системе координат

Если выбрать прямоугольную систему координат Oxyz с центром в точке O, то момент силы будет иметь следующие компоненты:
(5.1)   ;
(5.2)   ;
(5.3)   .
Здесь – координаты точки A в выбранной системе координат:
.
Компоненты представляют собой значения момента силы относительно осей , соответственно.

Свойства момента силы относительно центра

Момент относительно центра O, от силы, проходящей через этот центр, равен нулю.

Если точку приложения силы переместить вдоль линии, проходящей через вектор силы, то момент, при таком перемещении, не изменится.

Момент от векторной суммы сил, приложенных к одной точке тела, равен векторной сумме моментов от каждой из сил, приложенных к этой же точке:
.

Тоже самое относится и к силам, чьи линии продолжения пересекаются в одной точке.

Если векторная сумма сил равна нулю:
, то сумма моментов от этих сил не зависит от положения центра, относительно которого вычисляются моменты:

.

Пара сил

Пара сил – это две силы, равные по абсолютной величине и имеющие противоположные направления, приложенные к разным точкам тела.

Пара сил характеризуется моментом , который они создают.

Поскольку векторная сумма сил, входящих в пару равна нулю, то создаваемый парой момент не зависит от точки, относительно которой вычисляется момент.

С точки зрения статического равновесия, природа сил, входящих в пару, не имеет значения. Пару сил используют для того, чтобы указать, что на тело действует момент сил, имеющий определенное значение .

Момент силы относительно заданной оси

Часто встречаются случаи, когда нам не нужно знать все компоненты момента силы относительно выбранной точки, а нужно знать только момент силы относительно выбранной оси.

Моментом силы относительно оси, проходящей через точку O – это проекция вектора момента силы, относительно точки O, на направление оси.

Свойства момента силы относительно оси

Момент относительно оси от силы, проходящей через эту ось равен нулю.

Момент относительно оси от силы, параллельной этой оси равен нулю.

Вычисление момента силы относительно оси

Момент силы относительно оси.

Пусть на тело, в точке A действует сила . Найдем момент этой силы относительно оси O′O′′.

Построим прямоугольную систему координат. Пусть ось Oz совпадает с O′O′′. Из точки A опустим перпендикуляр OH на O′O′′. Через точки O и A проводим ось Ox. Перпендикулярно Ox и Oz проводим ось Oy.

Разложим силу на составляющие вдоль осей системы координат:
.
Сила пересекает ось O′O′′. Поэтому ее момент равен нулю. Сила параллельна оси O′O′′. Поэтому ее момент также равен нулю. По формуле (5.

3) находим:
.

Заметим, что компонента направлена по касательной к окружности, центром которой является точка O. Направление вектора определяется правилом правого винта.

Условия равновесия твердого тела

В равновесии векторная сумма всех действующих на тело сил равна нулю и векторная сумма моментов этих сил относительно произвольного неподвижного центра равна нулю:
(6.1)   ;
(6.2)   .

Подчеркнем, что центр O, относительно которого вычисляются моменты сил можно выбирать произвольным образом. Точка O может, как принадлежать телу, так и находится за его пределами. Обычно центр O выбирают так, чтобы сделать вычисления более простыми.

Условия равновесия можно сформулировать и другим способом.

В равновесии сумма проекций сил на любое направление, задаваемое произвольным вектором , равна нулю:
.
Также равна нулю сумма моментов сил относительно произвольной оси O′O′′:
.

Иногда такие условия оказываются более удобными. Бывают случаи, когда за счет выбора осей, можно сделать вычисления более простыми.

Центр тяжести тела

Рассмотрим одну из важнейших сил – силу тяжести. Здесь силы не приложены в определенных точках тела, а непрерывно распределены по его объему. На каждый участок тела с бесконечно малым объемом ΔV, действует сила тяготения . Здесь ρ – плотность вещества тела, – ускорение свободного падения.

Пусть – масса бесконечно малого участка тела. И пусть точка Ak определяет положение этого участка. Найдем величины, относящиеся к силе тяжести, которые входят в уравнения равновесия (6).

Найдем сумму сил тяжести, образованную всеми участками тела:
,
где – масса тела. Таким образом, сумму сил тяжести отдельных бесконечно малых участков тела можно заменить одним вектором силы тяжести всего тела:
.

Найдем сумму моментов сил тяжести, относительно произвольным способом выбранного центра O:

.
Здесь мы ввели точку C, которая называется центром тяжести тела. Положение центра тяжести, в системе координат с центром в точке O, определяется по формуле:
(7)   .

Итак, при определении статического равновесия, сумму сил тяжести отдельных участков тела можно заменить равнодействующей
,
приложенной к центру масс тела C, положение которого определяется формулой (7).

Положение центра тяжести для различных геометрических фигур можно найти в соответствующих справочниках. Если тело имеет ось или плоскость симметрии, то центр тяжести расположен на этой оси или плоскости.

Так, центры тяжести сферы, окружности или круга находятся в центрах окружностей этих фигур.

Центры тяжести прямоугольного параллелепипеда, прямоугольника или квадрата также расположены в их центрах – в точках пересечения диагоналей.

Распределенная нагрузка

Равномерно (А) и линейно (Б) распределенная нагрузка.

Также встречаются подобные силе тяжести случаи, когда силы не приложены в определенных точках тела, а непрерывно распределены по его поверхности или объему. Такие силы называют распределенными силами или распределенными нагрузками.

Равномерно распределенная нагрузка q (рисунок А). Также, как и в случае с силой тяжести, ее можно заменить равнодействующей силой величины , приложенной в центре тяжести эпюры. Поскольку на рисунке А эпюра представляет собой прямоугольник, то центр тяжести эпюры находится в ее центре – точке C: |AC| = |CB|.

Линейно распределенная нагрузка q (рисунок В). Ее также можно заменить равнодействующей. Величина равнодействующей равна площади эпюры:
.
Точка приложения находится в центре тяжести эпюры. Центр тяжести треугольника, высотой h, находится на расстоянии от основания. Поэтому .

Силы трения

Трение скольжения. Пусть тело находится на плоской поверхности. И пусть – сила, перпендикулярная поверхности, с которой поверхность действует на тело (сила давления).

Тогда сила трения скольжения параллельна поверхности и направлена в сторону, препятствуя движению тела. Ее наибольшая величина равна:
,
где f – коэффициент трения.

Коэффициент трения является безразмерной величиной.

Трение качения. Пусть тело округлой формы катится или может катиться по поверхности. И пусть – сила давления, перпендикулярная поверхности, с которой поверхность действует на тело.

Тогда на тело, в точке соприкосновения с поверхностью, действует момент сил трения, препятствующий движению тела. Наибольшая величина момента трения равна:
,
где δ – коэффициент трения качения.

Он имеет размерность длины.

Использованная литература:
С. М. Тарг, Краткий курс теоретической механики, «Высшая школа», 2010.

Источник: https://1cov-edu.ru/mehanika/statika/

Статика твёрдого тела – материалы для подготовки к ЕГЭ по Физике

Статика твердого тела

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: момент силы, условия равновесия твёрдого тела.

Статика изучает равновесие тел под действием приложенных к ним сил. Равновесие – это состояние тела, при котором каждая его точка остаётся всё время неподвижной в некоторой инерциальной системе отсчёта.

Условием равновесия материальной точки является равенство нулю равнодействующей (т. е. векторной суммы) всех сил, приложенных к точке. В этом случае наша точка будет двигаться равномерно и прямолинейно в произвольной инерциальной системе отсчёта. Значит, система отсчёта, связанная с точкой, также будет инерциальной, и в ней точка будет покоиться.

В случае твёрдого тела ситуация сложнее. Прежде всего, важно учитывать точку приложения каждой силы.

-Сила тяжести приложена в центре тяжести тела. Для тела простой формы центр тяжести совпадает с центром симметрии.

-Силы упругости и трения приложены в точке или в плоскости контакта тела с соприкасающимся телом.

Прямая линия, проходящая через точку приложения вдоль вектора силы, называется линией действия силы. Оказывается, точку приложения силы можно переносить вдоль линии её действия – от этого механическое состояние тела не изменится (в частности, равновесие не нарушится).

Для равновесия твёрдого тела недостаточно потребовать равенства нулю векторной суммы всех приложенных к телу сил.

В качестве примера рассмотрим пару сил – так называются две равные по модулю противоположно направленные силы, линии действия которых не совпадают. Пусть пара сил и приложена к твёрдому стержню (рис. 1).

Рис. 1. Пара сил

Векторная сумма этих сил равна нулю. Но стержень покоиться не будет: он начнёт вращаться. В данном случае не выполнено второе условие равновесия твёрдого тела. Чтобы его сформулировать, нужно ввести понятие момента силы.

Как должна быть направлена линия действия силы, чтобы тело стало вращаться вокруг неподвижной оси? Для начала заметим следующее.

– Если линия действия силы параллельна данной оси, то вращения не будет.
– Если линия действия силы пересекает данную ось, то вращения не будет.

В каждом из этих случаев действие силы вызывает лишь деформацию твёрдого тела.

Чтобы началось вращение, линия действия силы и ось вращения должны быть скрещивающимися прямыми.

Без ограничения общности можно считать эти прямые перпендикулярными друг другу. Мы всегда можем этого добиться, разложив силу на две составляющие – параллельную и перпендикулярную оси вращения – и отбросив параллельную составляющую как не вызывающую вращения. Поэтому везде далее мы считаем, что все силы, действующие на тело, перпендикулярны оси вращения.

Момент силы

Плечо силы – это расстояние от оси вращения до линия действия силы (т. е. длина общего перпендикуляра к двум этим прямым).

В качестве примера на рис. 2 изображён диск, к которому приложена сила . Ось вращения перпендикулярна плоскости чертежа и проходит через точку . Плечом силы является величина , где – основание перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия
силы.

Рис. 2. Плечо силы

Момент силы относительно оси вращения – это произведение силы на плечо:

.

Чтобы учесть также направление вращения, вызываемого действием силы, моменту силы приписывают знак. Именно, момент силы считается положительным, если сила стремится поворачивать тело против часовой стрелки, и отрицательным, если по часовой стрелке.

Условия равновесия

Если тело имеет неподвижную ось вращения и если алгебраическая сумма моментов всех сил относительно этой оси обращается в нуль, то тело будет находиться в равновесии. Это так называемое правило моментов . Оказывается, что в этом случае обращается в нуль алгебраическая сумма моментов всех сил относительно любой другой оси, параллельной оси вращения.

В общем случае, когда твёрдое тело может совершать как поступательное, так и вращательное движение, мы имеем два условия равновесия.

1. Равна нулю векторная сумма всех сил, приложенных к телу.
2. Равна нулю алгебраическая сумма моментов всех сил, приложенных к телу, относительно данной оси вращения или любой другой оси, параллельной данной.

Так, в примере на рис. 1 алгебраическая сумма моментов пары сил не обращается нуль (оба момента положительны). Поэтому стержень не находится в равновесии.

При решении задач удобно использовать сформулированные выше условия равновесия в следующем виде.

1'. Силы уравновешены вдоль любой оси.
2'. Суммарный момент сил, вращающих тело в одну сторону, равен суммарному моменту сил, вращающих тело в другую сторону.

Сейчас мы разберём одну достаточно содержательную задачу по статике и посмотрим, как работают наши условия равновесия.

Задача.
Однородная лестница опирается на гладкую вертикальную стену, образуя с ней угол .

При каком максимальном значении лестница будет покоиться? Коэффициент трения между лестницей и полом равен .

Решение. Пусть лестница опирается о пол и стену в точках и соответственно (рис. 3).

Расставим силы, действующие на лестницу.

Рис. 3. К задаче

Поскольку лестница однородная, сила тяжести приложена в середине лестницы. Сила упругости пола и сила трения приложены в точке . На рис. 3 точка приложения этих сил немного смещена от точки внутрь лестницы; тем самым мы однозначно указываем, что силы приложены именно к лестнице (а не к полу).

Точно так же сила упругости стены приложена в точке . Поскольку стена гладкая, сила трения между стеной и лестницей отсутствует.
Воспользуемся условием 1'. Вдоль горизонтальной оси силы уравновешены:

. (1)

Вдоль вертикальной оси силы также уравновешены:

. (2)

Теперь переходим к правилу моментов – условию 2'. Какую ось вращения выбрать? Удобнее всего взять ось, проходящую через точку (перпендикулярно плоскости рисунка).

В таком случае моменты сразу двух сил и обратятся в нуль – ведь плечи этих сил относительно точки равны нулю (поскольку линии действия сил проходят через эту точку).

Ненулевые моменты относительно точки имеют силы и , которые стремятся вращать лестницу в разные стороны; стало быть, моменты данных сил должны быть равны друг другу.

Плечо силы – это длина перпендикуляра , опущенного из точки на линию действия силы . Плечо силы – это длина перпендикуляра , опущенного из точки на линию действия силы . Согласно правилу моментов имеем:

Пусть длина лестницы равна . Тогда . Подставляем эти соотношения в равенство моментов:

откуда

(3)

С учётом равенства (1) имеем вместо (3):

(4)

Вспомним теперь, что в условии спрашивается максимальное значение . При максимальном угле лестница пока ещё стоит, но уже находится на грани проскальзывания. Это означает, что сила трения достигла своего максимального значения, равного силе трения скольжения:

.

Теперь из (4) получаем:

,

а с учётом равенства (2):

.

Отсюда получаем искомую максимальную величину :

.

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/fizika/statika-tvyordogo-tela/

Vse-referaty
Добавить комментарий